กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองแดง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 90 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 600 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 300 mm, E = 100 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองเหลือง, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา อะลูมิเนียม ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 75 mm และยาว 3 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm และยาว 0.5 m แรงบิด 250 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 3 md₂ = 50 mm, L₂ = 0.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 500 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 0.8 m และห่างจาก B 1.2 m จงหามุมหมุน φ_C ของหน้าตัด C ในหน่วยองศา

d = 60 mmT₀ = 500 N·ma = 0.8 mb = 1.2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 3 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 5 mw = 4 kN/m จาก 0 ถึง 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัด M_B ที่จุดรองรับ B ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 5.5 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 5.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 4 m

M_B = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 100 mm × 150 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 60 mm สูง 40 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 105 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 100 mmh = 150 mmช่องตัด: 60 × 40 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 120 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θ_s ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = 120 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 400 mm ความหนาผนัง 5 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 3 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 50° กับแกนของทรงกระบอก จงหาขนาดของความเค้นเฉือน |τ_n| ที่กระทำตามรอยเชื่อม

D = 400 mmt = 5 mmp = 3 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 2 m จาก A จงหาการโก่งตัว δ_B ที่ปลายอิสระ B

P = 6 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 12 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 1567 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490.9 = 183.3 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 183.3/117000 = 0.001567 = 1567 µε

คำตอบ

ε = 1567 µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 78.35 MPa

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ความแข็ง

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·706.9/300 = 235619 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 80000·235619/340339 = 55385 N

ความเค้น

σ₂ = 55385/706.9 = 78.35 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 78.35 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 0.981 °

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·3000/(26000·3.106 × 10⁶) = 0.009286 rad

φ_BC = 250000·500/(26000·613592) = 0.007835 rad

มุมบิดรวม

φ_C = 0.009286 + 0.007835 = 0.01712 rad = 0.981°

คำตอบ

φ_C = 0.981°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 0.2771 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง T_A + T_B = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)

สมดุลและความสอดคล้อง

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·1.2/2 = 300 N·m

T_B = 500·0.8/2 = 200 N·m

การหมุนของ C

ใช้ท่อน AC: ยึดที่ A และรับ T_A

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 300000·800/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.004837 rad = 0.2771°

คำตอบ

φ_C = 0.2771°

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 12 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN กระทำที่ x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2.5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

ตัดที่ x = 3 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 10·3 − 4·3·1.5 = 12 kN·m

คำตอบ

M_x = 12 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_B = −5.625 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·5.5 = 27.5 kN กระทำที่ x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·5.5·2.75

R_B = 75.63/4 = 18.91 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27.5 − 18.91 = 8.594 kN

ตัดที่ B แล้วเก็บส่วนยื่นไว้

แรงกระทำบนส่วนยื่น w·a กระทำที่ a/2 จาก B และทำให้คานโค้งคว่ำเหนือจุดรองรับ

M_B = −w·a²/2 = −5·1.5²/2 = −5.625 kN·m

คำตอบ

M_B = −5.625 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 71.89 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

เอว: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·305 + 4200·150)/7000 = 212 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 280·10³/12 + 2800·(305 − 212)² = 2.424 × 10⁷ mm⁴

เอว: 14·300³/12 + 4200·(150 − 212)² = 4.764 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.424 × 10⁷ + 4.764 × 10⁷ = 7.189 × 10⁷ mm⁴ = 71.89 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 71.89 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 25.23 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (15000·75 − 2400·105)/(15000 − 2400) = 69.29 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

100·150³/12 + 15000·5.714² = 28.61 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

60·40³/12 + 2400·35.71² = 3.381 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 25.23 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 25.23 × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_s = −50.94 °

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θ_s = −20/97.08 = −0.206, sin 2θ_s = −95/97.08 = −0.9785

2θ_s = atan2(−95, −20) = −101.9°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_s = −50.94°

ตรวจสอบ: θ_s − θ_p = −50.94 − (−5.944) = −45°

คำตอบ

θ_s = −50.94°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: |τ_n| = 29.54 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σ_h = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σ_a = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 3·200/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σ_a) และ y รอบเส้นรอบวง (σ_h) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

|τ_n| = (120 − 60)·sin 50°·cos 50° = 29.54 MPa

คำตอบ

|τ_n| = 29.54 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_B = 9.167 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 6000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวที่ปลายอิสระ

การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ

δ_P = Pa³/(3EI) = 6.667 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.005 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 9.167 mm

คำตอบ

δ_B = 9.167 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 1105 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·11000·16.67) = 1.105 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1105 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 1105 × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 25.18 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/4200² = 25178 N = 25.18 kN

คำตอบ

P_cr = 25.18 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 17.27 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12.5 = 200

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

คำตอบ

σ_cr = 17.27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials