กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
200 kNØ30120 GPaØ120/70600 mmδ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 600 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 200 kN จงหาระยะหด δ

P = 200 kNแท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 40 mmอะลูมิเนียม0.5 mØ 20 mmเหล็กกล้า0.5 mP = 20 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 20 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 0.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 0.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)
δ = mm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
d = ?T = 250 N·mL = 2.5 m

เพลา อะลูมิเนียม ตัน ยาว 2.5 m รับแรงบิด 250 N·m มุมบิดระหว่างปลายทั้งสองต้องไม่เกิน 1.5° จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามขีดจำกัดนี้

T = 250 N·mL = 2.5 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.การบิดของเพลายาก
d = ?10 kW, 300 rpm

เพลา อะลูมิเนียม ตันส่งกำลัง 10 kW ที่ 300 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.5° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
20 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

20 kN @ 1 m45 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 6 kN/mAB2 m2 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอบนบางส่วนของช่วงคาน จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 5 mw = 6 kN/m จาก 2 ถึง 4 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
150 mm200 mm60 mmØ60xIx​ = ?

แผ่น 150 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
1002522010xM = 25 kN·mขนาดเป็น mm

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 25 kN·m หาความเค้นดัด σล่าง ที่ขอบล่าง

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 25 kN·m
σล่าง = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = −40σy​ = 20τxy​ = −10MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax

σx = −40 MPaσy = 20 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 160σy​ = 90τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 30° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σx = 160 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 9 kNABδ2 m4 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 2 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 9 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 1.5 kN/mABδ3.5 m

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 125 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/300 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด hreq ของหน้าตัด

w = 1.5 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 125 mm
hreq = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 6 md = 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 130 kNL = 4 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 130 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 130 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.1157 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·7461 = 1.037 × 10⁹ N

ระยะหด

δ = 200000·600/1.037 × 10⁹ = 0.1157 mm

คำตอบ

δ = 0.1157 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.2728 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 63.66 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ1 = σ1L1/E1 = 15.92·500/70000 = 0.1137 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 63.66·500/200000 = 0.1592 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.2728 mm

คำตอบ

δ = 0.2728 mm
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 55.3 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วที่ต้องการ

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·2500/(26000·0.02618) = 918202 mm⁴

เส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (32J/π)1/4 = 55.3 mm

คำตอบ

d = 55.3 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 61.48 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·318310/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 61.48 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(27.86, 61.48) = 61.48 mm

คำตอบ

d = 61.48 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: C (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 46.67 kN, R2 = 18.33 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = 46.67, MC = 73.33 kN·m, MD = 55, ME = 36.67, MF = 18.33, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย C: MC = 73.33 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 11.52 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN กระทำที่ x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·2·3
RB = 36/5 = 7.2 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 7.2 = 4.8 kN

แรงเฉือนเป็นศูนย์

แรงเฉือนเริ่มต้นที่ RA คงที่ตลอดส่วนที่ไม่มีแรงกระทำ และลดลงด้วยความชัน w ภายในแรงกระทำ

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 4.8/6 = 2.8 m

โมเมนต์สูงสุด

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 4.8·2.8 − 6·0.8²/2 = 11.52 kN·m

คำตอบ

Mmax = 11.52 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 94.37 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (30000·100 − 2827·60)/(30000 − 2827) = 104.2 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·200³/12 + 30000·−4.162² = 100.5 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−44.16² = 6.151 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 94.37 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 94.37 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σล่าง = 164.8 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
เอว: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·232.5 + 2200·110)/4700 = 175.2 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 100·25³/12 + 2500·(232.5 − 175.2)² = 8.35 × 10⁶ mm⁴
เอว: 10·220³/12 + 2200·(110 − 175.2)² = 1.821 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.35 × 10⁶ + 1.821 × 10⁷ = 2.656 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 175.2 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·175.2/2.656 × 10⁷ = 164.8 MPa

คำตอบ

σล่าง = 164.8 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τmax = 31.62 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCτmax​

รัศมีของวงกลมมอร์

τmax = R = √(((−40 − 20)/2)² + −10²) = 31.62 MPa

คำตอบ

τmax = 31.62 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σθ = 168.5 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

σθ = 125 + 35·0.5 + 30·0.866 = 168.5 MPa

คำตอบ

σθ = 168.5 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 2.807 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 9000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 9000·2000²·4000²/(3·1.14 × 10¹³·6000) = 2.807 mm

คำตอบ

δP = 2.807 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: hreq = 129.9 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 1.5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δallow = L/300 = 3500/300 = 11.67 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·3500⁴/(384·11000·11.67) = 2.284 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.284 × 10⁷/125)1/3 = 129.9 mm

คำตอบ

hreq = 129.9 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 48.83 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

คำตอบ

Pcr = 48.83 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 85.59 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 85.59 mm

คำตอบ

d = 85.59 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 186.9 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials