กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 400 mm, E = 120 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.5 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 115 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)

δ = mm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา เหล็กกล้า ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm และยาว 2 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm และยาว 1 m แรงบิด 200 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

T = 200 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 30 kW ที่ 3000 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 30 kWN = 3000 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 4 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัด M_B ที่จุดรองรับ B ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 7 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 7 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 5 m

M_B = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว I แบบเชื่อมมีปีกบน 110 × 22 mm เอวสูง 300 mm หนา 12 mm และปีกล่าง 270 × 22 mm (กว้าง × หนา) จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกน x ที่ผ่านเซนทรอยด์ในแนวนอน

ปีกบน: 110 × 22 mmเอว: 12 × 300 mmปีกล่าง: 270 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −80 MPa, σᵧ = 90 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 40° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = −80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 7 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δ_P ใต้แรงกระทำ

P = 22 kNa = 7 mL = 8 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 50 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/250 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด h_req ของหน้าตัด

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 50 mm

h_req = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 10 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 10 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 56.88 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706.9) = 4.716 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.5/8.79 × 10⁻⁶ = 56882 N = 56.88 kN

คำตอบ

P = 56.88 kN

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 12.46 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 119.5 MPa

σ₂ = 572 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 119.5·1000/117000 = 1.022 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·2000/100000 = 11.44 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 12.46 mm

คำตอบ

δ = 12.46 mm

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 37.73 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

ความเค้นในแต่ละท่อน

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·30³) = 37.73 MPa

คำตอบ

τ_max = 37.73 MPa

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 3.814 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·30/751193 = 3.814 MPa

คำตอบ

τ_max = 3.814 MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 35 kN, R₂ = 55 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 32.5, M_C = 60, M_D = 82.5, M_E = 100 kN·m, M_F = 52.5, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = 100 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_B = −10 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN กระทำที่ x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7·3.5

R_B = 122.5/5 = 24.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 24.5 = 10.5 kN

ตัดที่ B แล้วเก็บส่วนยื่นไว้

แรงกระทำบนส่วนยื่น w·a กระทำที่ a/2 จาก B และทำให้คานโค้งคว่ำเหนือจุดรองรับ

M_B = −w·a²/2 = −5·2²/2 = −10 kN·m

คำตอบ

M_B = −10 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 20.96 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187.5 mm

เอว: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·187.5 + 2520·90)/6120 = 147.4 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 240·15³/12 + 3600·(187.5 − 147.4)² = 5.87 × 10⁶ mm⁴

เอว: 14·180³/12 + 2520·(90 − 147.4)² = 1.509 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.87 × 10⁶ + 1.509 × 10⁷ = 2.096 × 10⁷ mm⁴ = 20.96 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 20.96 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 217.2 × 10⁶ mm⁴

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีกบน: A = 2420 mm², y = 333 mm

เอว: A = 3600 mm², y = 172 mm

ปีกล่าง: A = 5940 mm², y = 11 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (2420·333 + 3600·172 + 5940·11)/11960 = 124.6 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีกบน: 110·22³/12 + 2420·208.4² = 1.052 × 10⁸ mm⁴

เอว: 12·300³/12 + 3600·47.38² = 3.508 × 10⁷ mm⁴

ปีกล่าง: 270·22³/12 + 5940·113.6² = 7.692 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.052 × 10⁸ + 3.508 × 10⁷ + 7.692 × 10⁷

I_x = 2.172 × 10⁸ mm⁴ = 217.2 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 217.2 × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 41.23 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((120 − 100)/2)² + −40²) = 41.23 MPa

คำตอบ

τ_max = 41.23 MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = 0.08798 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = 5 + −85·0.1736 + 10·0.9848 = 0.08798 MPa

คำตอบ

σ_θ = 0.08798 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_P = 25.52 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 22000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 22000·7000²·1000²/(3·1.76 × 10¹²·8000) = 25.52 mm

คำตอบ

δ_P = 25.52 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: h_req = 156.5 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·12) = 1.598 × 10⁷ mm⁴

ความลึกที่ต้องการ

bh³/12 = I_req → h = (12·1.598 × 10⁷/50)^1/3 = 156.5 mm

คำตอบ

h_req = 156.5 mm

ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 16.39 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2800² = 16392 N = 16.39 kN

คำตอบ

P_cr = 16.39 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 46.33 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·10000 = 25000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 46.33 mm

คำตอบ

d = 46.33 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 215.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials