ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 85 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 85 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)
δ = mm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลา ทองเหลือง ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm และยาว 0.5 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm และยาว 3 m แรงบิด 1500 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
T = 1500 N·md1 = 50 mm, L1 = 0.5 md2 = 40 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.การบิดของเพลายาก
เพลา เหล็กกล้า ตันส่งกำลัง 30 kW ที่ 1450 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.75° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
P = 30 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 5 mP1 = 80 kN ที่ 1.5 mP2 = 10 kN ที่ 2 m
Mmax = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงสูงสุด Mmax ระหว่างจุดรองรับ
L = 6 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 6 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 4 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์
bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 15 kN·m หาความเค้นดัด σล่าง ที่ขอบล่าง
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 160 mmM = 15 kN·m
σล่าง = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = 60 MPaσy = −50 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1000 mm ความหนาผนัง 5 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 0.5 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 35° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σn ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม
D = 1000 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 35°
σn = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 2 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ
P = 22 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 150 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด hreq ของหน้าตัด
w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)b = 150 mm
hreq = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 30 mm
σcr = MPa
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 5.154 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 85·1000/706.9 = 120.3 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 120.3/70000 = 0.001718 = 1718 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.001718·3000 mm = 5.154 mm
คำตอบ
δ = 5.154 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 7.243 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 120.3 MPa
σ2 = 422.8 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 120.3·1500/200000 = 0.9019 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 422.8·1500/100000 = 6.341 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.243 mm
คำตอบ
δ = 7.243 mm
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 119.4 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
ความเค้นในแต่ละท่อน
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
τAB = 16·1.5 × 10⁶/(π·50³) = 61.12 MPa
τBC = 16·1.5 × 10⁶/(π·40³) = 119.4 MPa
คำตอบ
τmax = 119.4 MPa
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 37.23 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง
T = 197.6 N·m = 197572 N·mm
dτ = ∛(16·197572/(π·40)) = 29.3 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·197572/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 37.23 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
d = max(29.3, 37.23) = 37.23 mm
คำตอบ
d = 37.23 mm
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 93 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
ΣMA = 0: RB·5 = 80·1.5 + 10·2
RB = 140/5 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 28 = 62 kN
โมเมนต์ใต้แต่ละแรง
เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้
ใต้ P1: M = RA·1.5 = 62·1.5 = 93 kN·m
ใต้ P2: M = RB·3 = 28·3 = 84 kN·m
ค่าที่มากที่สุด
Mmax = 93 kN·m (ใต้ P1)
คำตอบ
Mmax = 93 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 5.625 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·6·3
RB = 90/4 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 22.5 = 7.5 kN
แรงเฉือนเป็นศูนย์
RA − w·x0 = 0 → x0 = 7.5/5 = 1.5 m
โมเมนต์แอ่นลงสูงสุด
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 7.5²/(2·5) = 5.625 kN·m
คำตอบ
Mmax = 5.625 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 6.373 × 10⁶ mm⁴
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
เอว: Aw = 18·100 = 1800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·110 + 1800·50)/6600 = 93.64 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 240·20³/12 + 4800·(110 − 93.64)² = 1.445 × 10⁶ mm⁴
เอว: 18·100³/12 + 1800·(50 − 93.64)² = 4.927 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.445 × 10⁶ + 4.927 × 10⁶ = 6.373 × 10⁶ mm⁴ = 6.373 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 6.373 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: σล่าง = 114.9 MPa
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm
เอว: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·172.5 + 2560·80)/5060 = 125.7 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 100·25³/12 + 2500·(172.5 − 125.7)² = 5.605 × 10⁶ mm⁴
เอว: 16·160³/12 + 2560·(80 − 125.7)² = 1.081 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.605 × 10⁶ + 1.081 × 10⁷ = 1.641 × 10⁷ mm⁴
ความเค้นดัด
ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ
y = 125.7 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·125.7/1.641 × 10⁷ = 114.9 MPa
คำตอบ
σล่าง = 114.9 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 58.52 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((60 − −50)/2)² + 20²) = 58.52 MPa
คำตอบ
τmax = 58.52 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σn = 41.78 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σh = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σa = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง
ความเค้นในผนัง
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 0.5·500/5 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa
แปลงไปยังรอยเชื่อม
ให้ x ตามแนวแกน (σa) และ y รอบเส้นรอบวง (σh) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน
σn = 25·sin²35° + 50·cos²35° = 41.78 MPa
คำตอบ
σn = 41.78 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δP = 15.59 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 22000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
การโก่งตัวใต้แรงกระทำ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 22000·2000²·1000²/(3·6.27 × 10¹¹·3000) = 15.59 mm
คำตอบ
δP = 15.59 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: hreq = 257.4 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
เกณฑ์ระยะแอ่น
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13.89) = 2.131 × 10⁸ mm⁴
ความลึกที่ต้องการ
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.131 × 10⁸/150)1/3 = 257.4 mm
คำตอบ
hreq = 257.4 mm
ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 2.146 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2.146 kN
คำตอบ
Pcr = 2.146 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 38.86 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa
คำตอบ
σcr = 38.86 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials