กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 400 mm, E = 100 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.4 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองเหลือง, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 160 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 70 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 100 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaท่อ: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวงต้องรับแรงบิด 200 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.6 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

T = 200 N·md_i/d_o = 0.6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.การบิดของเพลายาก

เพลา เหล็กกล้า ตันส่งกำลัง 15 kW ที่ 300 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.25° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 4 m12 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 3 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 6 mP = 50 kN ที่ 3 mw = 5 kN/m จาก 0 ถึง 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 150 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 140 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว I แบบเชื่อมมีปีกบน 150 × 16 mm เอวสูง 150 mm หนา 16 mm และปีกล่าง 240 × 12 mm (กว้าง × หนา) จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกน x ที่ผ่านเซนทรอยด์ในแนวนอน

ปีกบน: 150 × 16 mmเอว: 16 × 150 mmปีกล่าง: 240 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θ_s ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −10 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 60° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว หาระยะแอ่น δ ที่ปลายอิสระ

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 18 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 40 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 41.89 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3.183 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.4/9.549 × 10⁻⁶ = 41888 N = 41.89 kN

คำตอบ

P = 41.89 kN

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 482.5 kN

พื้นที่

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6.032 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.0008, 0.001429) = 0.0008 (เหล็กกล้า)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0008·6.032 × 10⁸ = 482549 N = 482.5 kN

คำตอบ

P_max = 482.5 kN

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 30.81 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0.8704)) = 30.81 mm

d_i = 0.6·30.81 = 18.49 mm

คำตอบ

d_o = 30.81 mm

เพลาตันต้องมี d = 29.42 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 61.1 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 477.5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·75)) = 31.89 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 61.1 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(31.89, 61.1) = 61.1 mm

คำตอบ

d = 61.1 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 4 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 27 kN, R₂ = 42 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 27, M_C = 54, M_D = 75, M_E = 84 kN·m, M_F = 42, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: M_E = 84 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 97.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN กระทำที่ x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·3 + 5·6·3

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

ตัดที่ x = 3 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 40·3 − 5·3·1.5 = 97.5 kN·m

คำตอบ

M_x = 97.5 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 94.37 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (30000·100 − 2827·140)/(30000 − 2827) = 95.84 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·200³/12 + 30000·4.162² = 100.5 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·60⁴/64 + 2827·44.16² = 6.151 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 94.37 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 94.37 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 39.86 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีกบน: A = 2400 mm², y = 170 mm

เอว: A = 2400 mm², y = 87 mm

ปีกล่าง: A = 2880 mm², y = 6 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (2400·170 + 2400·87 + 2880·6)/7680 = 82.56 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีกบน: 150·16³/12 + 2400·87.44² = 1.84 × 10⁷ mm⁴

เอว: 16·150³/12 + 2400·4.438² = 4.547 × 10⁶ mm⁴

ปีกล่าง: 240·12³/12 + 2880·76.56² = 1.692 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.84 × 10⁷ + 4.547 × 10⁶ + 1.692 × 10⁷

I_x = 3.986 × 10⁷ mm⁴ = 39.86 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 39.86 × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_s = −22.5 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θ_s = 60/84.85 = 0.7071, sin 2θ_s = −60/84.85 = −0.7071

2θ_s = atan2(−60, 60) = −45°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_s = −22.5°

ตรวจสอบ: θ_s − θ_p = −22.5 − 22.5 = −45°

คำตอบ

θ_s = −22.5°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = −36.65 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −25·0.866 + 30·−0.5 = −36.65 MPa

คำตอบ

τ_θ = −36.65 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 11.9 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 11.9 mm

คำตอบ

δ = 11.9 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 54.83 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 18000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 25.97 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 28.86 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 25.97 + 28.86 = 54.83 mm

คำตอบ

δ_max = 54.83 mm

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 2.559 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·6000 = 12000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/12000² = 2559 N = 2.559 kN

คำตอบ

P_cr = 2.559 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 39.47 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 39.47 mm

คำตอบ

d = 39.47 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 141.9 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials