กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 30 mmเหล็กกล้า2.5 mP = 90 kN

หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 90 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 25 mmเหล็กกล้า1 mØ 20 mmทองแดง1.5 mP = 70 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง

P = 70 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
d = ?T = 500 N·mL = 0.8 m

เพลา ทองเหลือง ตัน ยาว 0.8 m รับแรงบิด 500 N·m มุมบิดระหว่างปลายทั้งสองต้องไม่เกิน 2° จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามขีดจำกัดนี้

T = 500 N·mL = 0.8 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.การบิดของเพลายาก
d = 20 mmT0​ = 750 N·mACBa = 1 mb = 1.2 m

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 750 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 1 m และห่างจาก B 1.2 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา

d = 20 mmT0 = 750 N·ma = 1 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
M0​ = 10 kN·mAB2.5 m1.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับโมเมนต์คู่ควบตามเข็มนาฬิกา M0 = 10 kN·m ที่ x = 2.5 m จาก A และไม่มีแรงอื่น จงหาโมเมนต์ดัด Mx ที่ตำแหน่งซ้ายของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 4 mM0 = 10 kN·m ตามเข็มนาฬิกา ที่ 2.5 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
60 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 0 m25 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
300202808xขนาดเป็น mm

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
120 mm300 mm105 mm60 × 30xIx​ = ?

แผ่น 120 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 60 mm สูง 30 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 105 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 120 mmh = 300 mmช่องตัด: 60 × 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 70σy​ = −30τxy​ = −30MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σx = 70 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​τxy​ผิวด้านบนของเพลา

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm รับ โมเมนต์ดัด 500 N·m ร่วมกับแรงบิด 100 N·m ที่ผิวด้านบน ซึ่งความเค้นดัดเป็นแรงดึงและมีค่ามากที่สุด จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ1

d = 30 mmM = 500 N·mT = 100 N·m
σ1 = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 16 kNABδ2 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 2 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 16 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 8 kN/mP = 12 kNδL = 5 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δmax ที่กึ่งกลางช่วง

P = 12 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2.5 m25 × 80 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 40 kNL = 2 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 40 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.592 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 90·1000/706.9 = 127.3 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/200000 = 0.0006366 = 636.6 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0006366·2500 mm = 1.592 mm

คำตอบ

δ = 1.592 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σmax = 222.8 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 142.6 MPa
σ2 = 222.8 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σmax = 222.8 MPa

คำตอบ

σmax = 222.8 MPa
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 41.59 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วที่ต้องการ

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·800/(39000·0.03491) = 293825 mm⁴

เส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (32J/π)1/4 = 41.59 mm

คำตอบ

d = 41.59 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τmax = 260.4 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)

สมดุลและความสอดคล้อง

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1.2/2.2 = 409.1 N·m
TB = 750·1/2.2 = 340.9 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

แรงบิดที่มากกว่าในสองค่าเป็นตัวกำหนด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

τmax = 16·409091/(π·20³) = 260.4 MPa

คำตอบ

τmax = 260.4 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = −6.25 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์คู่ควบที่กระทำทำให้แผนภาพโมเมนต์ดัดกระโดดเท่ากับขนาดของโมเมนต์คู่ควบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

โมเมนต์รอบ A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก: RB·L − M0 = 0 สมดุลในแนวดิ่ง: RA + RB = 0

RB = M0/L = 10/4 = 2.5 kN (ขึ้น)
RA = −RB = −2.5 kN (ลง)

ตัดที่ตำแหน่งซ้ายของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย

ส่วนซ้ายมีเพียง RA

Mx = RA·a = −2.5·2.5 = −6.25 kN·m

คำตอบ

Mx = −6.25 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: B (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 68.75 kN, R2 = 16.25 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −120 kN·m, MC = −102.5, MD = −85, ME = −67.5, MF = −50, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: MB = −120 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 51.53 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
เอว: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·290 + 2240·140)/8240 = 249.2 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 300·20³/12 + 6000·(290 − 249.2)² = 1.018 × 10⁷ mm⁴
เอว: 8·280³/12 + 2240·(140 − 249.2)² = 4.136 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.018 × 10⁷ + 4.136 × 10⁷ = 5.153 × 10⁷ mm⁴ = 51.53 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 51.53 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 266 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (36000·150 − 1800·105)/(36000 − 1800) = 152.4 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

120·300³/12 + 36000·−2.368² = 270.2 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

60·30³/12 + 1800·−47.37² = 4.174 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 266 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 266 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θp = −15.48 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCσ1​σ2​

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θp = atan2(2·−30, 70 − −30) = −30.96°

มุมบนชิ้นส่วน

θp = −15.48°

คำตอบ

θp = −15.48°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ1 = 190.5 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

ความเค้นที่ผิว

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa
στxyCσ1​σ2​

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = 94.31 MPa
R = √(94.31² + 18.86²) = 96.18 MPa
σ1 = C + R = 190.5 MPa
σ2 = C − R = −1.868 MPa

คำตอบ

σ1 = 190.5 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 53.87 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 16000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·2000²·1000²/(3·1.32 × 10¹¹·3000) = 53.87 mm

คำตอบ

δP = 53.87 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 8.603 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 12000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δP = PL³/(48EI) = 12000·5000³/(48·1.12 × 10¹³) = 2.79 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 5.813 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δmax = 2.79 + 5.813 = 8.603 mm

คำตอบ

δmax = 8.603 mm
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 2.879 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/5000² = 2879 N = 2.879 kN

คำตอบ

Pcr = 2.879 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 43.37 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 43.37 mm

คำตอบ

d = 43.37 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 92.23 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials