ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)
P = 45 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 200 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด Pmax
แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaท่อ: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวง เหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 40 mm ภายใน 30 mm ยาว 1.5 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 250 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา
T = 250 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลา อะลูมิเนียม ตันส่งกำลัง 15 kW ที่ 750 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.5° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
P = 15 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ
20 kN @ 6 m15 kN/m, 2–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ
25 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 4 m10 kN/m, 2–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
หน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลวง (หน้าตัดกล่อง) กว้างภายนอก B = 220 mm สูงภายนอก H = 275 mm และความหนาผนังสม่ำเสมอ t = 8 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน
B = 220 mmH = 275 mmt = 8 mm
r = mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 20 kN·m หาความเค้นดัด σล่าง ที่ขอบล่าง
bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 260 mmM = 20 kN·m
σล่าง = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°
σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 15° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = −50 MPaθ = 15°
τθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 4 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ
P = 20 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว EI คงที่ จงหาแรงปฏิกิริยา RB ที่ค้ำยัน
L = 6 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
σcr = MPa
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: ε = 716.2 µε
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 45·1000/314.2 = 143.2 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 143.2/200000 = 0.0007162 = 716.2 µε
คำตอบ
ε = 716.2 µε
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: Pmax = 819.1 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·9346 = 1.126 × 10⁹ N
ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด
ε = min(0.001, 0.0007273) = 0.0007273 (บรอนซ์)
โหลดสูงสุด
Pmax = 0.0007273·1.126 × 10⁹ = 819099 N = 819.1 kN
คำตอบ
Pmax = 819.1 kN
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 1.563 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
มุมบิด
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(80000·171806) = 0.02728 rad
φ = 0.02728·180/π = 1.563°
คำตอบ
φ = 1.563°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 54.11 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·190986/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 54.11 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
d = max(22.99, 54.11) = 54.11 mm
คำตอบ
d = 54.11 mm
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: D (x = 6 m)
โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง
R1 = 72.5 kN, R2 = 97.5 kN
โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย
รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ
MA = 0, MB = 145, MC = 260, MD = 315 kN·m, ME = 270, MF = 165, MG = 0
คำตอบ
เครื่องหมาย D: MD = 315 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: F (x = 10 m)
โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง
R1 = 92.5 kN, R2 = 87.5 kN
โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย
รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ
MA = 0, MB = −50, MC = 65, MD = 60, ME = 15, MF = −70 kN·m, MG = 0
คำตอบ
เครื่องหมาย F: MF = −70 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: r = 105.9 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = Ic + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา
พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
b = 204 mm, h = 259 mm
A = BH − bh = 220·275 − 204·259 = 7664 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 8.592 × 10⁷ mm⁴
รัศมีไจเรชัน
r = √(I/A) = √(8.592 × 10⁷/7664) = 105.9 mm
คำตอบ
r = 105.9 mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: σล่าง = 70.11 MPa
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
เอว: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·270 + 3640·130)/7640 = 203.3 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 200·20³/12 + 4000·(270 − 203.3)² = 1.793 × 10⁷ mm⁴
เอว: 14·260³/12 + 3640·(130 − 203.3)² = 4.006 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.793 × 10⁷ + 4.006 × 10⁷ = 5.799 × 10⁷ mm⁴
ความเค้นดัด
ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ
y = 203.3 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·203.3/5.799 × 10⁷ = 70.11 MPa
คำตอบ
σล่าง = 70.11 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θp = −22.5 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ
2θp = atan2(2·−50, 40 − −60) = −45°
มุมบนชิ้นส่วน
θp = −22.5°
คำตอบ
θp = −22.5°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τθ = −0.8013 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
τθ = −−85·0.5 + −50·0.866 = −0.8013 MPa
คำตอบ
τθ = −0.8013 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δP = 25.4 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 20000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
การโก่งตัวใต้แรงกระทำ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·4000²·1000²/(3·8.4 × 10¹¹·5000) = 25.4 mm
คำตอบ
δP = 25.4 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: RB = 33.75 kN
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)
ถอดค้ำยันออก
เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ
δload = wL⁴/(8EI)
ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน
แรงจากค้ำยัน RB เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น RBL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·6/8 = 33.75 kN
คำตอบ
RB = 33.75 kN
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 40.04 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40.04 kN
คำตอบ
Pcr = 40.04 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 4.441 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/7.5 = 666.7
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa
คำตอบ
σcr = 4.441 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials