ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 600 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 500 mm, E = 120 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.2 mm
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 600 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 200 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 100 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 15 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 30 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 200 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 0.86° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ
T = 30 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 0.86°
G = GPa
4.การบิดของเพลายาก
เพลากลวงส่งกำลัง 75 kW ที่ 500 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
P = 75 kWN = 500 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 1.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก
L = 10 mw = 12 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 8 mP = 40 kN ที่ 4 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 8 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
ท่อกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก D = 60 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน d = 52 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน
D = 60 mmd = 52 mm
r = mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
หน้าตัดรูปตัว I แบบเชื่อมมีปีกบน 190 × 22 mm เอวสูง 340 mm หนา 8 mm และปีกล่าง 160 × 10 mm (กว้าง × หนา) จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix รอบแกน x ที่ผ่านเซนทรอยด์ในแนวนอน
ปีกบน: 190 × 22 mmเอว: 8 × 340 mmปีกล่าง: 160 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = 10 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σvM
σx = 100 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง
w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 1.5 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัวสูงสุด δmax ของคาน
P = 3 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 65 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 65 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: P = 44.35 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
ความอ่อนตัว
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
โหลด
P = 0.2/4.509 × 10⁻⁶ = 44352 N = 44.35 kN
คำตอบ
P = 44.35 kN
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σ2 = 44.2 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
ความแข็ง
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm
ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2
F2 = 100000·687223/791943 = 86777 N
ความเค้น
σ2 = 86777/1963 = 44.2 MPa (แรงอัด)
คำตอบ
σ2 = 44.2 MPa
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: G = 80.43 GPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 0.86·π/180 = 0.01501 rad
มอดูลัสเฉือน
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·200/(4970·0.01501) = 80429 MPa
G = 80.43 GPa
คำตอบ
G = 80.43 GPa
เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 25.09 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
ความเค้นเฉือนสูงสุด
τmax = T·(do/2)/J = 1.432 × 10⁶·37.5/2.141 × 10⁶ = 25.09 MPa
คำตอบ
τmax = 25.09 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mx = 76.5 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN กระทำที่ x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
ตัดที่ x = 1.5 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้
มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น
M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 60·1.5 − 12·1.5·0.75 = 76.5 kN·m
คำตอบ
Mx = 76.5 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 96 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·4 + 2·8·4
RB = 224/8 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 28 = 28 kN
V = 0 ที่ใด
V(4⁻) = RA − w·4 = 20 kN
V(4⁺) = 20 − 40 = −20 kN
แรงเฉือนเปลี่ยนเครื่องหมายที่แรงกระทำ ดังนั้นค่าสูงสุดอยู่ใต้แรงกระทำ
โมเมนต์สูงสุด
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 28·4 − 2·4²/2 = 96 kN·m
คำตอบ
Mmax = 96 kN·m
เกิดที่ x = 4 m จาก A
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: r = 19.85 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = Ic + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา
พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
A = π(D² − d²)/4 = 703.7 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 277264 mm⁴
รัศมีไจเรชัน
r = √(I/A) = √(277264/703.7) = 19.85 mm
คำตอบ
r = 19.85 mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 185.6 × 10⁶ mm⁴
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีกบน: A = 4180 mm², y = 361 mm
เอว: A = 2720 mm², y = 180 mm
ปีกล่าง: A = 1600 mm², y = 5 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (4180·361 + 2720·180 + 1600·5)/8500 = 236.1 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีกบน: 190·22³/12 + 4180·124.9² = 6.541 × 10⁷ mm⁴
เอว: 8·340³/12 + 2720·56.07² = 3.475 × 10⁷ mm⁴
ปีกล่าง: 160·10³/12 + 1600·231.1² = 8.544 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.541 × 10⁷ + 3.475 × 10⁷ + 8.544 × 10⁷
Ix = 1.856 × 10⁸ mm⁴ = 185.6 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 185.6 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 60.21 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((10 − −80)/2)² + −40²) = 60.21 MPa
คำตอบ
τmax = 60.21 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σvM = 122.9 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = 110 MPa, R = 31.62 MPa
σ1 = 141.6 MPa, σ2 = 78.38 MPa, σ3 = 0
ฟอน มิเซส
σvM = √(141.6² − 141.6·78.38 + 78.38²) = 122.9 MPa
คำตอบ
σvM = 122.9 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 1.302 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
ระยะแอ่น
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 1.302 mm
คำตอบ
δmax = 1.302 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 7.458 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 3000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
ตำแหน่งของค่าสูงสุด
ตั้งมุมลาดเอียงในช่วงที่ยาวกว่าเท่ากับศูนย์ จะได้ตำแหน่ง
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm
ระยะแอ่นสูงสุด
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7.458 mm
คำตอบ
δmax = 7.458 mm
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 5.062 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1750² = 5062 N = 5.062 kN
คำตอบ
Pcr = 5.062 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 117.9 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 117.9 mm
คำตอบ
d = 117.9 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 407.1 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials