กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 55 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 15 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง เหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 80 mm ภายใน 56 mm ยาว 2 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 1500 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 1500 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดที่ A แรงบิด 750 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 0.8 m และแรงบิด 100 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.5 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 100 N·mAB = 0.8 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 3 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 4 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงสูงสุด M_max ระหว่างจุดรองรับ

L = 5.5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 5.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 4 m

M_max = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

แผ่น 200 mm × 240 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 50 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 144 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 240 mmช่องตัด: 50 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θ_s ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 110 kN ร่วมกับแรงบิด 500 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ₁

d = 40 mmF = −110 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 1 m จาก A จงหาการโก่งตัว δ_B ที่ปลายอิสระ B

P = 26 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 1 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัว δ_mid ที่กึ่งกลางช่วงคาน

P = 19 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.5602 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490.9 = 112 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 112/100000 = 0.00112 = 1120 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.00112·500 mm = 0.5602 mm

คำตอบ

δ = 0.5602 mm

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 132.6 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 21.22 MPa

σ₂ = 132.6 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 132.6 MPa

คำตอบ

σ_max = 132.6 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.7031 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

มุมบิด

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·2000/(80000·3.056 × 10⁶) = 0.01227 rad

φ = 0.01227·180/π = 0.7031°

คำตอบ

φ = 0.7031°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 51.73 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 750 = −650 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 650 N·m

τ_max = 16·650000/(π·40³) = 51.73 MPa

คำตอบ

τ_max = 51.73 MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 12 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

ตัดที่ x = 3 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 16·3 − 8·3·1.5 = 12 kN·m

คำตอบ

M_x = 12 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_max = 11.82 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·5.5 = 44 kN กระทำที่ x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·5.5·2.75

R_B = 121/4 = 30.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 30.25 = 13.75 kN

แรงเฉือนเป็นศูนย์

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 13.75/8 = 1.719 m

โมเมนต์แอ่นลงสูงสุด

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 13.75²/(2·8) = 11.82 kN·m

คำตอบ

M_max = 11.82 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 47.91 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

เอว: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·275 + 2080·130)/11080 = 247.8 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 300·30³/12 + 9000·(275 − 247.8)² = 7.343 × 10⁶ mm⁴

เอว: 8·260³/12 + 2080·(130 − 247.8)² = 4.057 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7.343 × 10⁶ + 4.057 × 10⁷ = 4.791 × 10⁷ mm⁴ = 47.91 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 47.91 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 228.4 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (48000·120 − 2500·144)/(48000 − 2500) = 118.7 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·240³/12 + 48000·1.319² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

50·50³/12 + 2500·25.32² = 2.123 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 228.4 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 228.4 × 10⁶ mm⁴

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_s = −71.57 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θ_s = −20/25 = −0.8, sin 2θ_s = −15/25 = −0.6

2θ_s = atan2(−15, −20) = −143.1°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_s = −71.57°

ตรวจสอบ: θ_s − θ_p = −71.57 − (−26.57) = −45°

คำตอบ

θ_s = −71.57°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ₁ = 15.38 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = F/A = −110000/(π·40²/4) = −110000/1257 = −87.54 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39.79 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = −43.77 MPa

R = √((−43.77)² + 39.79²) = 59.15 MPa

σ₁ = C + R = 15.38 MPa

σ₂ = C − R = −102.9 MPa

คำตอบ

σ₁ = 15.38 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_B = 1.29 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 26000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวที่ปลายอิสระ

การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ

δ_P = Pa³/(3EI) = 0.5159 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0007738 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.29 mm

คำตอบ

δ_B = 1.29 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_mid = 1.171 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคาน

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 19000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·2.4 × 10¹³) = 1.171 mm

คำตอบ

δ_mid = 1.171 mm

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 2.106 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/5000² = 2106 N = 2.106 kN

คำตอบ

P_cr = 2.106 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 2.763 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa

คำตอบ

σ_cr = 2.763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials