กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองแดง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 20 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm, ยาว 300 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 50 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา เหล็กกล้า ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm และยาว 0.5 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm และยาว 1.5 m แรงบิด 200 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 1500 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 0.5 m และห่างจาก B 0.8 m จงหาแรงบิดปฏิกิริยา T_A ที่ผนัง A

d = 40 mmT₀ = 1500 N·ma = 0.5 mb = 0.8 m

T_A = N·m

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

45 kN @ 2 m25 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 4 mP = 55 kN ที่ 2.5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 210 mm หนา 22 mm ความลึกรวม 500 mm และเอวหนา 12 mm จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน x

B = 210 mmH = 500 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 50 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_ล่าง = MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 110 MPa และ σᵧ = 70 MPa ความเค้นเฉือน τ_xy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 140 MPa

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 15° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 20 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 20 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 241.8 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 28.29/117000 = 0.0002418 = 241.8 µε

คำตอบ

ε = 241.8 µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 10.04 MPa

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ความแข็ง

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 50000·659734/1.162 × 10⁶ = 28378 N

ความเค้น

σ₂ = 28378/2827 = 10.04 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 10.04 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 14.58 °

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·500/(80000·79522) = 0.01572 rad

φ_BC = 200000·1500/(80000·15708) = 0.2387 rad

มุมบิดรวม

φ_C = 0.01572 + 0.2387 = 0.2545 rad = 14.58°

คำตอบ

φ_C = 14.58°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: T_A = 923.1 N·m

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง T_A + T_B = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)

สมดุลและความสอดคล้อง

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0.8/1.3 = 923.1 N·m

T_B = 1500·0.5/1.3 = 576.9 N·m

คำตอบ

T_A = 923.1 N·m

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: B (x = 2 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 41.67 kN, R₂ = 28.33 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 83.33 kN·m, M_C = 76.67, M_D = 70, M_E = 63.33, M_F = 56.67, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย B: M_B = 83.33 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 32.63 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN กระทำที่ x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2.5 + 8·4·2

R_B = 201.5/4 = 50.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 50.38 = 36.63 kN

ตัดที่ x = 1 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 36.63·1 − 8·1·0.5 = 32.63 kN·m

คำตอบ

M_x = 32.63 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 623 × 10⁶ mm⁴

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = I_c + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − t_w) และสูง h_w = H − 2t_f และใช้แกน x ร่วมกัน

h_w = 500 − 2·22 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·500³ − 198·456³)/12

I_x = 6.23 × 10⁸ mm⁴ = 623 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 623 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 171 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

เอว: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·305 + 4200·150)/5400 = 184.4 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 120·10³/12 + 1200·(305 − 184.4)² = 1.745 × 10⁷ mm⁴

เอว: 14·300³/12 + 4200·(150 − 184.4)² = 3.648 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.745 × 10⁷ + 3.648 × 10⁷ = 5.393 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 184.4 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·184.4/5.393 × 10⁷ = 171 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 171 MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_xy = 45.83 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีที่ต้องการ

C = (110 + 70)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 90 = 50 MPa

ความเค้นเฉือน

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45.83 MPa

คำตอบ

τ_xy = 45.83 MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = −15.36 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = −20 + 40·0.866 + −60·0.5 = −15.36 MPa

คำตอบ

σ_θ = −15.36 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 53.57 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 53.57 mm

คำตอบ

δ_max = 53.57 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 1.266 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·200000·8.333) = 1.266 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1.266 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 1.266 × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 5.426 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·4000 = 4000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5.426 kN

คำตอบ

P_cr = 5.426 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 40.08 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·20000 = 40000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 40.08 mm

คำตอบ

d = 40.08 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 249.5 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials