กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
50 kNØ4070 GPaØ120/70300 mmδ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 70 GPa) ทั้งสองยาว 300 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 50 kN จงหาระยะหด δ

P = 50 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 25 mmอะลูมิเนียม0.5 mØ 20 mmเหล็กกล้า1 mP = 70 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง

P = 70 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 0.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 750 N·md = 50 mmL = 0.8 mφ = ?

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 750 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
Tdo​ = 40 mm, di​ = 30 mm

เพลากลวงส่งกำลัง 20 kW ที่ 300 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา

P = 20 kWN = 300 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
M0​ = 20 kN·mAB4.5 m1.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับโมเมนต์คู่ควบตามเข็มนาฬิกา M0 = 20 kN·m ที่ x = 4.5 m จาก A และไม่มีแรงอื่น จงหาโมเมนต์ดัด Mx ที่ตำแหน่งซ้ายของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 6 mM0 = 20 kN·m ตามเข็มนาฬิกา ที่ 4.5 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 8 kN/mABC8 m1.5 m

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 1.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงสูงสุด Mmax ระหว่างจุดรองรับ

L = 9.5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 9.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 8 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
150 mm300 mm120 mmØ50xIx​ = ?

แผ่น 150 mm × 300 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 120 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
2002020014xM = 50 kN·mขนาดเป็น mm

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 50 kN·m หาความเค้นดัด σล่าง ที่ขอบล่าง

bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 200 mmM = 50 kN·m
σล่าง = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 120σy​ = 60τxy​ = 10MPa

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa โดย σz = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τabs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 130σy​ = −70τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 130 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σvM

σx = 130 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
P = 23 kNABδ1 m5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 1 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ

P = 23 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 5 kN/mδL = 3 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ireq ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 3 m30 × 100 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 15 kNL = 2 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 15 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 15 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.01939 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7.736 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 50000·300/7.736 × 10⁸ = 0.01939 mm

คำตอบ

δ = 0.01939 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σmax = 222.8 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 142.6 MPa
σ2 = 222.8 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σmax = 222.8 MPa

คำตอบ

σmax = 222.8 MPa
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 2.155 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·613592) = 0.03761 rad
φ = 0.03761·180/π = 2.155°

คำตอบ

φ = 2.155°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τmax = 74.11 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τmax = T·(do/2)/J = 636620·20/171806 = 74.11 MPa

คำตอบ

τmax = 74.11 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = −15 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์คู่ควบที่กระทำทำให้แผนภาพโมเมนต์ดัดกระโดดเท่ากับขนาดของโมเมนต์คู่ควบ

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

โมเมนต์รอบ A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก: RB·L − M0 = 0 สมดุลในแนวดิ่ง: RA + RB = 0

RB = M0/L = 20/6 = 3.333 kN (ขึ้น)
RA = −RB = −3.333 kN (ลง)

ตัดที่ตำแหน่งซ้ายของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย

ส่วนซ้ายมีเพียง RA

Mx = RA·a = −3.333·4.5 = −15 kN·m

คำตอบ

Mx = −15 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 59.58 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 8·9.5 = 76 kN กระทำที่ x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·9.5·4.75
RB = 361/8 = 45.13 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 45.13 = 30.88 kN

แรงเฉือนเป็นศูนย์

RA − w·x0 = 0 → x0 = 30.88/8 = 3.859 m

โมเมนต์แอ่นลงสูงสุด

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 30.88²/(2·8) = 59.58 kN·m

คำตอบ

Mmax = 59.58 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 335.3 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (45000·150 − 1963·120)/(45000 − 1963) = 151.4 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·300³/12 + 45000·−1.369² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−31.37² = 2.239 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 335.3 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 335.3 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σล่าง = 280.1 MPa

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
เอว: Aw = 14·200 = 2800 mm², yw = 200/2 = 100 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·210 + 2800·100)/6800 = 164.7 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 200·20³/12 + 4000·(210 − 164.7)² = 8.34 × 10⁶ mm⁴
เอว: 14·200³/12 + 2800·(100 − 164.7)² = 2.106 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.34 × 10⁶ + 2.106 × 10⁷ = 2.94 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 164.7 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·164.7/2.94 × 10⁷ = 280.1 MPa

คำตอบ

σล่าง = 280.1 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τabs = 60.81 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σmax − σmin)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

σxyCσ1​σ2​

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 90 MPa, R = √(30² + 10²) = 31.62 MPa
σ1 = 121.6 MPa, σ2 = 58.38 MPa, σz = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63.25, 121.6, 58.38)/2 = 60.81 MPa

คำตอบ

τabs = 60.81 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σvM = 183.3 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2

στxyCσ1​σ2​

ความเค้นหลัก

C = 30 MPa, R = 104.4 MPa
σ1 = 134.4 MPa, σ2 = −74.4 MPa, σ3 = 0

ฟอน มิเซส

σvM = √(134.4² − 134.4·(−74.4) + (−74.4)²) = 183.3 MPa

คำตอบ

σvM = 183.3 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δP = 6.944 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

การโก่งตัวใต้แรงกระทำ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·5000²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 6.944 mm

คำตอบ

δP = 6.944 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: Ireq = 9.04 × 10⁶ mm⁴

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

เกณฑ์ระยะแอ่น

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·3000⁴/(384·70000·8.333) = 9.04 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 9.04 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ireq = 9.04 × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 12.34 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·3000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/6000² = 12337 N = 12.34 kN

คำตอบ

Pcr = 12.34 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 24.94 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 24.94 mm

คำตอบ

d = 24.94 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 160.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials