กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
150 kNØ40120 GPaØ80/50500 mmδ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 500 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 150 kN จงหาระยะหด δ

P = 150 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 25 mmทองเหลือง0.5 mØ 12 mmอะลูมิเนียม1.5 mP = 25 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง

P = 25 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 0.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 1.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 750 N·md = 50 mmL = 0.5 mφ = ?

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 750 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

เพลากลวงส่งกำลัง 50 kW ที่ 3000 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา

P = 50 kWN = 3000 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
P1​ = 30 kNP2​ = 80 kNAB5 m2 m1 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 8 mP1 = 30 kN ที่ 5 mP2 = 80 kN ที่ 7 m
Mmax = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
60 kN35 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

60 kN @ 0 m35 kN @ 12 m30 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
xD = 230d = 210ขนาดเป็น mm

ท่อกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก D = 230 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน d = 210 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน

D = 230 mmd = 210 mm
r = mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
1602526014xM แอ่นลงขนาดเป็น mm

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 60 MPa สำหรับแรงดึง และ 120 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงมากที่สุด Mallow ที่คานรับได้

bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 260 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 40σy​ = −20τxy​ = −40MPa

จุดหนึ่งมี σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 20° ตามเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σy′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σx = 40 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = −80σy​ = −20τxy​ = 60MPa

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 300 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPaσY = 300 MPa
n =
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
w = 12 kN/mδL = 4 m

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
w = 5 kN/mAB3 m

คานยื่นที่มีค้ำยันถูกยึดแน่นที่ A และรองรับอย่างง่าย (ค้ำยัน) ที่ B รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว EI คงที่ จงหาแรงปฏิกิริยา RB ที่ค้ำยัน

L = 3 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2 m20 × 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 6 md = 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
σcr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.1212 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 150000·500/6.189 × 10⁸ = 0.1212 mm

คำตอบ

δ = 0.1212 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σmax = 221 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 50.93 MPa
σ2 = 221 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σmax = 221 MPa

คำตอบ

σmax = 221 MPa
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 1.347 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·613592) = 0.02351 rad
φ = 0.02351·180/π = 1.347°

คำตอบ

φ = 1.347°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τmax = 10.98 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τmax = T·(do/2)/J = 159155·25/362265 = 10.98 MPa

คำตอบ

τmax = 10.98 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 106.3 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

ΣMA = 0: RB·8 = 30·5 + 80·7
RB = 710/8 = 88.75 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 88.75 = 21.25 kN

โมเมนต์ใต้แต่ละแรง

เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้

ใต้ P1: M = RA·5 = 21.25·5 = 106.3 kN·m
ใต้ P2: M = RB·1 = 88.75·1 = 88.75 kN·m

ค่าที่มากที่สุด

Mmax = 106.3 kN·m (ใต้ P1)

คำตอบ

Mmax = 106.3 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: E (x = 8 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R1 = 76.67 kN, R2 = 48.33 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

MA = 0, MB = −120, MC = −86.67, MD = −113.3, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย E: ME = −140 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: r = 77.86 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = Ic + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา

พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

A = π(D² − d²)/4 = 6912 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.19 × 10⁷ mm⁴

รัศมีไจเรชัน

r = √(I/A) = √(4.19 × 10⁷/6912) = 77.86 mm

คำตอบ

r = 77.86 mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Mallow = 17.42 kN·m

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

เซนทรอยด์

ȳ = (4000·272.5 + 3640·130)/7640 = 204.6 mm
ขอบบน: c = 285 − 204.6 = 80.39 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 160·25³/12 + 4000·67.89² + 14·260³/12 + 3640·74.61² = 5.941 × 10⁷ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

แอ่นลง: ด้านบนรับแรงอัด ด้านล่างรับแรงดึง

ขอบบน: M = 120·5.941 × 10⁷/80.39 = 88.68 kN·m
ขอบล่าง: M = 60·5.941 × 10⁷/204.6 = 17.42 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

Mallow = min = 17.42 kN·m (ขอบล่าง)

คำตอบ

Mallow = 17.42 kN·m
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σy′ = −38.69 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σy′ = 10 − 30·0.766 − (−40)·(−0.6428) = −38.69 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σx′ = 58.69 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy

คำตอบ

σy′ = −38.69 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 2.372

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2

στxyCσ1​σ2​

ความเค้นหลัก

C = −50 MPa, R = 67.08 MPa
σ1 = 17.08 MPa, σ2 = −117.1 MPa, σ3 = 0

ฟอน มิเซส

σvM = √(17.08² − 17.08·(−117.1) + (−117.1)²) = 126.5 MPa
n = 300/126.5 = 2.372

คำตอบ

n = 2.372

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 4.762 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

ระยะแอ่น

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 4.762 mm

คำตอบ

δmax = 4.762 mm
12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: RB = 5.625 kN

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) สำหรับคานอินดีเทอร์มิเนตเชิงสถิตยศาสตร์ ให้ถอดจุดรองรับส่วนเกินออกแล้วกำหนดให้การโก่งตัวตรงนั้นเป็นศูนย์ (ความสอดคล้อง)

ถอดค้ำยันออก

เมื่อไม่มีค้ำยัน คานจะเป็นคานยื่น ปลายอิสระจะโก่งตัวภายใต้แรงกระทำ

δload = wL⁴/(8EI)

ความสอดคล้องของการโก่งตัวที่ค้ำยัน

แรงจากค้ำยัน RB เพียงอย่างเดียวยกปลายอิสระขึ้น RBL³/(3EI) ค้ำยันทำให้ B มีการโก่งตัวเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองค่าต้องหักล้างกัน EI หักล้างกันไป

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5.625 kN

คำตอบ

RB = 5.625 kN
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 40.28 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1400² = 40284 N = 40.28 kN

คำตอบ

Pcr = 40.28 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 8.812 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/15 = 280

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

คำตอบ

σcr = 8.812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials