ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 110 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 500 mm, E = 120 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 30 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 250 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลากลวงส่งกำลัง 75 kW ที่ 3000 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
P = 75 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 8 mP1 = 15 kN ที่ 1 mP2 = 50 kN ที่ 3 m
Mmax = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน และแรงกระทำเป็นจุด P จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 8 mP = 15 kN ที่ 6 mw = 10 kN/m จาก 0 ถึง 8 m
Mmax = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
ท่อกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก D = 280 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน d = 272 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน
D = 280 mmd = 272 mm
r = mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
แผ่น 150 mm × 300 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 80 mm สูง 50 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 90 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์
b = 150 mmh = 300 mmช่องตัด: 80 × 50 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = 30 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 110 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 45° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = 110 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θA ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน
w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δmax ที่กึ่งกลางช่วง
P = 6 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
σcr = MPa
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 23.45 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 547.1/70000 = 0.007816 = 7816 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.007816·3000 mm = 23.45 mm
คำตอบ
δ = 23.45 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σ2 = 14.09 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
ความแข็ง
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm
ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2
F2 = 30000·301593/511032 = 17705 N
ความเค้น
σ2 = 17705/1257 = 14.09 MPa (แรงอัด)
คำตอบ
σ2 = 14.09 MPa
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 11.49 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·38350) = 0.2006 rad
φ = 0.2006·180/π = 11.49°
คำตอบ
φ = 11.49°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 21.83 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
ความเค้นเฉือนสูงสุด
τmax = T·(do/2)/J = 238732·20/218755 = 21.83 MPa
คำตอบ
τmax = 21.83 MPa
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 103.1 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 50·3
RB = 165/8 = 20.63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 20.63 = 44.38 kN
โมเมนต์ใต้แต่ละแรง
เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้
ใต้ P1: M = RA·1 = 44.38·1 = 44.38 kN·m
ใต้ P2: M = RB·5 = 20.63·5 = 103.1 kN·m
ค่าที่มากที่สุด
Mmax = 103.1 kN·m (ใต้ P2)
คำตอบ
Mmax = 103.1 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 95.7 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·6 + 10·8·4
RB = 410/8 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 51.25 = 43.75 kN
V = 0 ที่ใด
RA − w·x0 = 0 → x0 = 43.75/10 = 4.375 m
โมเมนต์สูงสุด
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 43.75·4.375 − 10·4.375²/2 = 95.7 kN·m
คำตอบ
Mmax = 95.7 kN·m
เกิดที่ x = 4.375 m จาก A
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: r = 97.59 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = Ic + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา
พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
A = π(D² − d²)/4 = 3468 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.303 × 10⁷ mm⁴
รัศมีไจเรชัน
r = √(I/A) = √(3.303 × 10⁷/3468) = 97.59 mm
คำตอบ
r = 97.59 mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 320.9 × 10⁶ mm⁴
หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64
เซนทรอยด์
ȳ = (45000·150 − 4000·90)/(45000 − 4000) = 155.9 mm
แผ่นเต็มรอบ ȳ
150·300³/12 + 45000·−5.854² = 339 × 10⁶ mm⁴
รูรอบ ȳ
80·50³/12 + 4000·−65.85² = 18.18 × 10⁶ mm⁴
ลบ
Ix = 320.9 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 320.9 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 14.14 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((30 − 50)/2)² + −10²) = 14.14 MPa
คำตอบ
τmax = 14.14 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = 40 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 30 + 80·0 + −10·−1 = 40 MPa
คำตอบ
σθ = 40 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: θA = 0.0031 rad
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
มุมลาดเอียงที่ปลาย
θA = wL³/(24EI) = 10·5000³/(24·1.68 × 10¹³) = 0.0031 rad
คำตอบ
θA = 0.0031 rad
นั่นคือ 0.1776°
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 21.68 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 6000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน
δP = PL³/(48EI) = 6000·3000³/(48·2.53 × 10¹¹) = 13.34 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 8.337 mm
บวกเข้าด้วยกัน
δmax = 13.34 + 8.337 = 21.68 mm
คำตอบ
δmax = 21.68 mm
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 2.937 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2800² = 2937 N = 2.937 kN
คำตอบ
Pcr = 2.937 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 6.294 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/7.5 = 560
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6.294 MPa
คำตอบ
σcr = 6.294 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials