ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 15 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 400 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 500 mm, E = 110 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลา เหล็กกล้า ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm และยาว 2 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm และยาว 3 m แรงบิด 400 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
T = 400 N·md1 = 50 mm, L1 = 2 md2 = 25 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.การบิดของเพลายาก
เพลาตันต้องส่งกำลัง 5 kW ที่ 750 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้
P = 5 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับโมเมนต์คู่ควบตามเข็มนาฬิกา M0 = 50 kN·m ที่ x = 3.5 m จาก A และไม่มีแรงอื่น จงหาโมเมนต์ดัด Mx ที่ตำแหน่งขวาของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก
L = 5 mM0 = 50 kN·m ตามเข็มนาฬิกา ที่ 3.5 m
Mx = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก
L = 4 mP = 45 kN ที่ 3 mw = 6 kN/m จาก 0 ถึง 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
หน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากลวง (หน้าตัดกล่อง) กว้างภายนอก B = 160 mm สูงภายนอก H = 375 mm และความหนาผนังสม่ำเสมอ t = 18 mm จงหารัศมีไจเรชัน r รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน
B = 160 mmH = 375 mmt = 18 mm
r = mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 20 kN·m หาขนาดของความเค้นดัด σบน ที่ขอบบน
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 120 mmM = 20 kN·m
σบน = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 0 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = 0 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1500 mm ความหนาผนัง 12 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 1 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 20° กับแกนของทรงกระบอก จงหาขนาดของความเค้นเฉือน |τn| ที่กระทำตามรอยเชื่อม
D = 1500 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 20°
|τn| = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานยื่นรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ปลายอิสระ จงใช้หลักการซ้อนทับหาการโก่งตัว δ ที่ปลายอิสระ
P = 6 kNw = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δmax ที่กึ่งกลางช่วง
P = 9 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 1 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm
σcr = MPa
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 4.775 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 15·1000/78.54 = 191 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 191/100000 = 0.00191 = 1910 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.00191·2500 mm = 4.775 mm
คำตอบ
δ = 4.775 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σ2 = 16.6 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
ความแข็ง
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm
ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2
F2 = 80000·431969/1.06 × 10⁶ = 32593 N
ความเค้น
σ2 = 32593/1963 = 16.6 MPa (แรงอัด)
คำตอบ
σ2 = 16.6 MPa
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 130.4 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
ความเค้นในแต่ละท่อน
T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa
τBC = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
คำตอบ
τmax = 130.4 MPa
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 18.65 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·50)) = 18.65 mm
คำตอบ
d = 18.65 mm
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mx = 15 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์คู่ควบที่กระทำทำให้แผนภาพโมเมนต์ดัดกระโดดเท่ากับขนาดของโมเมนต์คู่ควบ
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
โมเมนต์รอบ A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก: RB·L − M0 = 0 สมดุลในแนวดิ่ง: RA + RB = 0
RB = M0/L = 50/5 = 10 kN (ขึ้น)
RA = −RB = −10 kN (ลง)
ตัดที่ตำแหน่งขวาของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย
ตอนนี้ส่วนซ้ายมี RA และโมเมนต์คู่ควบ
Mx = RA·a + M0 = −10·3.5 + 50 = 15 kN·m
คำตอบ
Mx = 15 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mx = 20.25 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN กระทำที่ x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·3 + 6·4·2
RB = 183/4 = 45.75 kN
ΣFy = 0: RA = 69 − 45.75 = 23.25 kN
ตัดที่ x = 1 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้
มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น
M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 23.25·1 − 6·1·0.5 = 20.25 kN·m
คำตอบ
Mx = 20.25 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: r = 129.3 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = Ic + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด รัศมีไจเรชัน r = √(I/A) คือระยะที่ถ้าพื้นที่ทั้งหมดอยู่ที่ระยะนั้นจะให้ I เท่าเดิม ใช้ในการโก่งเดาะของเสา
พื้นที่สุทธิและโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
b = 124 mm, h = 339 mm
A = BH − bh = 160·375 − 124·339 = 17964 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3.006 × 10⁸ mm⁴
รัศมีไจเรชัน
r = √(I/A) = √(3.006 × 10⁸/17964) = 129.3 mm
คำตอบ
r = 129.3 mm
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: σบน = 110.2 MPa
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
เอว: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·125 + 1200·60)/3600 = 103.3 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 240·10³/12 + 2400·(125 − 103.3)² = 1.147 × 10⁶ mm⁴
เอว: 10·120³/12 + 1200·(60 − 103.3)² = 3.693 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.147 × 10⁶ + 3.693 × 10⁶ = 4.84 × 10⁶ mm⁴
ความเค้นดัด
ขอบบนอยู่ห่างจากแกน h − ȳ
y = 130 − 103.3 = 26.67 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·26.67/4.84 × 10⁶ = 110.2 MPa
คำตอบ
σบน = 110.2 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 42.72 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((0 − −30)/2)² + −40²) = 42.72 MPa
คำตอบ
τmax = 42.72 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: |τn| = 10.04 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σh = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σa = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง
ความเค้นในผนัง
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 1·750/12 = 62.5 MPa
σa = pr/(2t) = 31.25 MPa
แปลงไปยังรอยเชื่อม
ให้ x ตามแนวแกน (σa) และ y รอบเส้นรอบวง (σh) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน
|τn| = (62.5 − 31.25)·sin 20°·cos 20° = 10.04 MPa
คำตอบ
|τn| = 10.04 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δ = 7.99 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 6000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน
δP = PL³/(3EI) = 6000·1500³/(3·1.32 × 10¹²) = 5.114 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 2.876 mm
บวกเข้าด้วยกัน
δ = 5.114 + 2.876 = 7.99 mm
คำตอบ
δ = 7.99 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 78.21 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
P = 9000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน
δP = PL³/(48EI) = 9000·5000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 25.37 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 52.84 mm
บวกเข้าด้วยกัน
δmax = 25.37 + 52.84 = 78.21 mm
คำตอบ
δmax = 78.21 mm
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 224.2 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1400² = 224242 N = 224.2 kN
คำตอบ
Pcr = 224.2 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 12.34 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/5 = 400
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
คำตอบ
σcr = 12.34 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials