กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์
V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด
σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด
W = I/ymax
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
Mmax = wL²/8

วิธีการ

  1. หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
  2. ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
  3. แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
  4. สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
สี่เหลี่ยมผืนผ้า
I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน
I = Ic + A·d²
หน้าตัดประกอบ
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย
δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ
δ = δ1 + δ2

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 30 mmอะลูมิเนียม2 mP = 40 kN

หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 40 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
P = ?Ø30100 GPaØ100/60500 mm

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 200 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 100 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 60 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด Pmax

แท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaท่อ: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 250 N·md = 40 mmL = 0.8 mφ = ?

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 250 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
d = 40 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 1500 N·mABC0.8 m2 m

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดที่ A แรงบิด 1000 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 0.8 m และแรงบิด 1500 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 2 m จงหาขนาดของมุมบิด φC ของปลาย C ในหน่วยองศา

d = 40 mmTB = 1000 N·mTC = 1500 N·mAB = 0.8 mBC = 2 mG = 39 GPa
φC = °
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNAB1 m6 m3 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน

L = 10 mP1 = 50 kN ที่ 1 mP2 = 50 kN ที่ 7 m
Mmax = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
w = 2 kN/mP = 35 kNABหน้าตัด1 m3 m4 m

หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 1 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 8 mP = 35 kN ที่ 4 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
150440148xขนาดเป็น mm

หน้าตัดรูปตัว I สมมาตรมีปีกกว้าง 150 mm หนา 14 mm ความลึกรวม 440 mm และเอวหนา 8 mm จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix รอบแกนเซนทรอยด์ในแนวนอน x

B = 150 mmH = 440 mmtf = 14 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
200 mm150 mm52.5 mm30 × 40xIx​ = ?

แผ่น 200 mm × 150 mm มีช่องตัดสี่เหลี่ยมกว้าง 30 mm สูง 40 mm อยู่กึ่งกลางตามเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 52.5 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ Ix รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 200 mmh = 150 mmช่องตัด: 30 × 40 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = −60σy​ = −70τxy​ = 10MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σx = −60 MPaσy = −70 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 150σy​ = 60τxy​ = −50MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 20° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σx = 150 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPaθ = -20°
τθ = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
w = 8 kN/mABθ8 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θA ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.การแอ่นตัวของคานยาก
P = 14 kNABδ4.5 m3.5 m

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 3.5 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัวสูงสุด δmax ของคาน

P = 14 kNb = 3.5 mL = 8 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 4 m20 × 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 15 kNL = 2.5 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 15 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 15 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.617 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 40·1000/706.9 = 56.59 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 56.59/70000 = 0.0008084 = 808.4 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0008084·2000 mm = 1.617 mm

คำตอบ

δ = 1.617 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: Pmax = 386.4 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5027 = 6.44 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.001, 0.0006) = 0.0006 (ทองเหลือง)

โหลดสูงสุด

Pmax = 0.0006·6.44 × 10⁸ = 386416 N = 386.4 kN

คำตอบ

Pmax = 386.4 kN
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 1.169 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(39000·251327) = 0.0204 rad
φ = 0.0204·180/π = 1.169°

คำตอบ

φ = 1.169°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: φC = 19.87 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ TC เป็นบวก

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 1000 = 500 N·m

มุมบิดของแต่ละท่อน

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 500000·800/(39000·251327) = 0.04081 rad
φBC = 1.5 × 10⁶·2000/(39000·251327) = 0.3061 rad

มุมบิดของปลาย C

φC = 0.04081 + 0.3061 = 0.3469 rad → |φC| = 19.87°

คำตอบ

φC = 19.87°
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mmax = 120 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

ΣMA = 0: RB·10 = 50·1 + 50·7
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 40 = 60 kN

โมเมนต์ใต้แต่ละแรง

เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้

ใต้ P1: M = RA·1 = 60·1 = 60 kN·m
ใต้ P2: M = RB·3 = 40·3 = 120 kN·m

ค่าที่มากที่สุด

Mmax = 120 kN·m (ใต้ P2)

คำตอบ

Mmax = 120 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: Mx = 24.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN กระทำที่ x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·4 + 2·8·4
RB = 204/8 = 25.5 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 25.5 = 25.5 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 25.5RB​ = 25.5หน้าตัด1 m3 m4 m

ตัดที่ x = 1 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = RA·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)
Mx = 25.5·1 − 2·1·0.5 = 24.5 kN·m

คำตอบ

Mx = 24.5 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 237.2 × 10⁶ mm⁴

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่: สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบแกนผ่านเซนทรอยด์ของตัวเอง I = bh³/12 และรอบฐาน bh³/3 (ทฤษฎีบทแกนขนาน I = Ic + A·d²) ส่วนที่เป็นรูจัดการด้วยการลบ I ของรู ตราบที่ทั้งสองส่วนใช้แกนเดียวกัน โมดูลัสหน้าตัดแบบยืดหยุ่นคือ S = I/c โดย c คือระยะถึงเส้นใยนอกสุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านนอกลบช่องว่างด้านข้างสองช่อง

ช่องว่างทั้งสองรวมกันกว้าง (B − tw) และสูง hw = H − 2tf และใช้แกน x ร่วมกัน

hw = 440 − 2·14 = 412 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·440³ − 142·412³)/12
Ix = 2.372 × 10⁸ mm⁴ = 237.2 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 237.2 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: Ix = 55.46 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี Ic = bh³/12 และวงกลมมี Ic = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (30000·75 − 1200·52.5)/(30000 − 1200) = 75.94 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

200·150³/12 + 30000·−0.9375² = 56.28 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

30·40³/12 + 1200·−23.44² = 0.8192 × 10⁶ mm⁴

ลบ

Ix = 55.46 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

Ix = 55.46 × 10⁶ mm⁴
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θp = 31.72 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

σxyCσ1​σ2​

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θp = atan2(2·10, −60 − −70) = 63.43°

มุมบนชิ้นส่วน

θp = 31.72°

คำตอบ

θp = 31.72°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τθ = −9.377 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

τθ = −45·−0.6428 + −50·0.766 = −9.377 MPa

คำตอบ

τθ = −9.377 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: θA = 0.02032 rad

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

มุมลาดเอียงที่ปลาย

θA = wL³/(24EI) = 8·8000³/(24·8.4 × 10¹²) = 0.02032 rad

คำตอบ

θA = 0.02032 rad

นั่นคือ 1.164°

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δmax = 17.41 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 14000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

ตำแหน่งของค่าสูงสุด

ตั้งมุมลาดเอียงในช่วงที่ยาวกว่าเท่ากับศูนย์ จะได้ตำแหน่ง

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

ระยะแอ่นสูงสุด

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 17.41 mm

คำตอบ

δmax = 17.41 mm
13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 5.757 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5.757 kN

คำตอบ

Pcr = 5.757 kN
14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 52.75 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 52.75 mm

คำตอบ

d = 52.75 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 379.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials