กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองเหลือง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 50 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 85 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 1 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงต้องส่งกำลัง 75 kW ที่ 1450 rpm เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.7 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

P = 75 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

คานยื่นถูกยึดแน่นที่ A รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ตำแหน่ง 2.5 m จาก A จงหาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 2 m จากจุดรองรับแบบยึดแน่น A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 2.5 mP = 25 kN ที่ 2.5 mw = 8 kN/m จาก 0 ถึง 2.5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

หาโมเมนต์ดัด M_x ที่หน้าตัด x = 4 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก

L = 10 mP = 25 kN ที่ 4 mw = 2 kN/m จาก 0 ถึง 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_x ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 20 kN·m หาความเค้นดัด σ_ล่าง ที่ขอบล่าง

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 20 kN·m

σ_ล่าง = MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = −60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 25° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานยื่นรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดความยาว และแรงกระทำเป็นจุด P ที่ปลายอิสระ จงใช้หลักการซ้อนทับหาการโก่งตัว δ ที่ปลายอิสระ

P = 15 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ I_req ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 1019 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490.9 = 101.9 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 101.9/100000 = 0.001019 = 1019 µε

คำตอบ

ε = 1019 µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 751.6 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 67.64 MPa

σ₂ = 751.6 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 751.6 MPa

คำตอบ

σ_max = 751.6 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 4.619 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·79522) = 0.08061 rad

φ = 0.08061·180/π = 4.619°

คำตอบ

φ = 4.619°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 34.59 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 493.9 N·m = 493929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·80·0.7599)) = 34.59 mm

d_i = 0.7·34.59 = 24.21 mm

คำตอบ

d_o = 34.59 mm

เพลาตันต้องมี d = 31.56 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = −13.5 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด

เก็บส่วนปลายอิสระไว้

P: −25·0.5 = −12.5 kN·m

w: −8·0.5²/2 = −1 kN·m

M_x = −12.5 − 1 = −13.5 kN·m

คำตอบ

M_x = −13.5 kN·m

ค่าลบหมายถึงโมเมนต์ลบ: ผิวด้านบนรับแรงดึง

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_x = 84 kN·m

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งตัว

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN กระทำที่ x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·4 + 2·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20 = 25 kN

ตัดที่ x = 4 m และเก็บส่วนทางซ้ายไว้

มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น

M = R_A·x − (น้ำหนักบรรทุกแต่ละตัวทางซ้ายของรอยตัด × ระยะถึงรอยตัด)

M_x = 25·4 − 2·4·2 = 84 kN·m

คำตอบ

M_x = 84 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 16.79 × 10⁶ mm⁴

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

เอว: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·165 + 2880·80)/5880 = 123.4 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 300·10³/12 + 3000·(165 − 123.4)² = 5.225 × 10⁶ mm⁴

เอว: 18·160³/12 + 2880·(80 − 123.4)² = 1.156 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.225 × 10⁶ + 1.156 × 10⁷ = 1.679 × 10⁷ mm⁴ = 16.79 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 16.79 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: σ_ล่าง = 85.38 MPa

แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป

วัดทุกค่า y จากขอบล่าง

ปีก: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

เอว: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

เซนทรอยด์

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·235 + 3080·110)/9680 = 195.2 mm

ทฤษฎีบทแกนขนาน

ปีก: 220·30³/12 + 6600·(235 − 195.2)² = 1.094 × 10⁷ mm⁴

เอว: 14·220³/12 + 3080·(110 − 195.2)² = 3.479 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.094 × 10⁷ + 3.479 × 10⁷ = 4.573 × 10⁷ mm⁴

ความเค้นดัด

ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ

y = 195.2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·195.2/4.573 × 10⁷ = 85.38 MPa

คำตอบ

σ_ล่าง = 85.38 MPa

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = −74.77 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·−50, −60 − 110) = −149.5°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = −74.77°

คำตอบ

θ_p = −74.77°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = −38.17 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −75·0.766 + 30·0.6428 = −38.17 MPa

คำตอบ

τ_θ = −38.17 MPa

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ = 15.39 mm

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 15000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·3000³/(3·1.14 × 10¹³) = 11.84 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 3.553 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ = 11.84 + 3.553 = 15.39 mm

คำตอบ

δ = 15.39 mm

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: I_req = 368.2 × 10⁶ mm⁴

เกณฑ์ระยะแอ่น

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16.67) = 3.682 × 10⁸ mm⁴

I_req = 368.2 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_req = 368.2 × 10⁶ mm⁴

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 25.7 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2000² = 25702 N = 25.7 kN

คำตอบ

P_cr = 25.7 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 69.09 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

คำตอบ

σ_cr = 69.09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials