ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
- แรงเฉือนและโมเมนต์
- V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
- ความเค้นดัด
- σ = M·y/I
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- มอดูลัสหน้าตัด
- W = I/ymax
- รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- Mmax = wL²/8
วิธีการ
- หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
- ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
- แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
- สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์
เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
- เซนทรอยด์
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- I = bh³/12
- ทฤษฎีบทแกนขนาน
- I = Ic + A·d²
- หน้าตัดประกอบ
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
การแอ่นตัวของคาน
- แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง
- δ = PL³/(48EI)
- น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- คานยื่น แรงที่ปลาย
- δ = PL³/(3EI)
- คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ
- δ = wL⁴/(8EI)
- การซ้อนทับ
- δ = δ1 + δ2
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2โจทย์ฝึก
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 800 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 300 kN จงหาระยะหด δ
P = 300 kNแท่ง: Ø20 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 200 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 100 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 60 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด Pmax
แท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaท่อ: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวง เหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 50 mm ภายใน 35 mm ยาว 0.5 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 1000 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา
T = 1000 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลาตันต้องส่งกำลัง 50 kW ที่ 1800 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้
P = 50 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุดสองแรง จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
L = 5 mP1 = 40 kN ที่ 1 mP2 = 55 kN ที่ 2 m
Mmax = kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก
เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ
15 kN @ 12 m20 kN @ 2 m8 kN/m, 0–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง
หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ix ของหน้าตัดรูปตัว T รอบแกนนอน x ที่ผ่านเซนทรอยด์
bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก
หน้าตัดรูปตัว T ใช้เป็นคานโดยให้ปีกอยู่ด้านบน และรับโมเมนต์ดัดที่ทำให้แอ่นลง 5 kN·m หาความเค้นดัด σล่าง ที่ขอบล่าง
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 200 mmM = 5 kN·m
σล่าง = MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = −70 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 50° ทวนเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σy′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว
σx = −70 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 130 kN ร่วมกับแรงบิด 1000 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ1
d = 60 mmF = −130 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน หาระยะแอ่นสูงสุด δmax ที่กึ่งกลางช่วง
w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.การแอ่นตัวของคานยาก
คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w ระยะแอ่นต้องไม่เกิน ช่วงคาน/360 หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ Ireq ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปตามเกณฑ์นี้
w = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 115 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 115 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm
3สารละลาย
1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.4244 mm
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N
ระยะหด
δ = 300000·800/5.655 × 10⁸ = 0.4244 mm
คำตอบ
δ = 0.4244 mm
2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: Pmax = 386.4 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5027 = 6.44 × 10⁸ N
ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด
ε = min(0.001, 0.0006) = 0.0006 (ทองเหลือง)
โหลดสูงสุด
Pmax = 0.0006·6.44 × 10⁸ = 386416 N = 386.4 kN
คำตอบ
Pmax = 386.4 kN
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 0.768 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
มุมบิด
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(80000·466269) = 0.0134 rad
φ = 0.0134·180/π = 0.768°
คำตอบ
φ = 0.768°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 26.21 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 50000/188.5 = 265.3 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·265258/(π·75)) = 26.21 mm
คำตอบ
d = 26.21 mm
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: Mmax = 90 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
สมดุลของคานทั้งตัว
ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 55·2
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 30 = 65 kN
โมเมนต์ใต้แต่ละแรง
เก็บส่วนทางซ้ายของแต่ละแรงไว้
ใต้ P1: M = RA·1 = 65·1 = 65 kN·m
ใต้ P2: M = RB·3 = 30·3 = 90 kN·m
ค่าที่มากที่สุด
Mmax = 90 kN·m (ใต้ P2)
คำตอบ
Mmax = 90 kN·m
6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด
คำตอบ: C (x = 4 m)
โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง
ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง
R1 = 53 kN, R2 = 62 kN
โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย
รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ
MA = 0, MB = 90, MC = 108 kN·m, MD = 94, ME = 48, MF = −30, MG = 0
คำตอบ
เครื่องหมาย C: MC = 108 kN·m
7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: Ix = 56.43 × 10⁶ mm⁴
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
เอว: Aw = 18·220 = 3960 mm², yw = 220/2 = 110 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7200·235 + 3960·110)/11160 = 190.6 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 240·30³/12 + 7200·(235 − 190.6)² = 1.47 × 10⁷ mm⁴
เอว: 18·220³/12 + 3960·(110 − 190.6)² = 4.173 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.47 × 10⁷ + 4.173 × 10⁷ = 5.643 × 10⁷ mm⁴ = 56.43 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ix = 56.43 × 10⁶ mm⁴
8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่
คำตอบ: σล่าง = 47.9 MPa
พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I
แบ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป
วัดทุกค่า y จากขอบล่าง
ปีก: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
เอว: Aw = 8·200 = 1600 mm², yw = 200/2 = 100 mm
เซนทรอยด์
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·210 + 1600·100)/4400 = 170 mm
ทฤษฎีบทแกนขนาน
ปีก: 140·20³/12 + 2800·(210 − 170)² = 4.573 × 10⁶ mm⁴
เอว: 8·200³/12 + 1600·(100 − 170)² = 1.317 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.573 × 10⁶ + 1.317 × 10⁷ = 1.775 × 10⁷ mm⁴
ความเค้นดัด
ขอบล่างอยู่ห่างจากแกน ȳ
y = 170 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·170/1.775 × 10⁷ = 47.9 MPa
คำตอบ
σล่าง = 47.9 MPa
9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σy′ = 13.26 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลงสำหรับหน้า y′
σy′ = −5 − (−65)·(−0.1736) − (−30)·0.9848 = 13.26 MPa
ตรวจสอบ
ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน
σx′ = −23.26 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy
คำตอบ
σy′ = 13.26 MPa
10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σ1 = 9.942 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
ความเค้นที่ผิว
σ = F/A = −130000/(π·60²/4) = −130000/2827 = −45.98 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23.58 MPa
วงกลมของมอร์
C = σ/2 = −22.99 MPa
R = √((−22.99)² + 23.58²) = 32.93 MPa
σ1 = C + R = 9.942 MPa
σ2 = C − R = −55.92 MPa
คำตอบ
σ1 = 9.942 MPa
11.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: δmax = 1.838 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
หน่วยที่สอดคล้องกัน
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
ระยะแอ่น
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.838 mm
คำตอบ
δmax = 1.838 mm
12.การแอ่นตัวของคาน
คำตอบ: Ireq = 17.26 × 10⁶ mm⁴
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
เกณฑ์ระยะแอ่น
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่ต้องการ
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4.167) = 1.726 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 17.26 × 10⁶ mm⁴
คำตอบ
Ireq = 17.26 × 10⁶ mm⁴
13.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 84.22 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 1·2500 = 2500 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2500² = 84221 N = 84.22 kN
คำตอบ
Pcr = 84.22 kN
14.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 100.9 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 100.9 mm
คำตอบ
d = 100.9 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 138.7 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials