กลศาสตร์ของวัสดุ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 14 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

แรงเฉือนและโมเมนต์: V = ΣF ด้านหนึ่ง, M = ΣF·d ด้านหนึ่ง
ความเค้นดัด: σ = M·y/I
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
มอดูลัสหน้าตัด: W = I/y_max
รับแรงสองจุด น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: M_max = wL²/8

วิธีการ

หาปฏิกิริยาที่จุดรองรับจากสมดุลของคานทั้งตัว
ตัดคานที่หน้าตัดที่ต้องการและเก็บไว้ด้านหนึ่ง
แรงเฉือน: ผลรวมแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น โมเมนต์ดัด: ผลรวมโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สำหรับโมเมนต์สูงสุด ให้หาตำแหน่งที่แรงเฉือนเป็นศูนย์

เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

เซนทรอยด์: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I = bh³/12
ทฤษฎีบทแกนขนาน: I = I_c + A·d²
หน้าตัดประกอบ: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

การแอ่นตัวของคาน

แรงจุดที่กึ่งกลางช่วง: δ = PL³/(48EI)
น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ รับแรงสองจุด: δ = 5wL⁴/(384EI)
คานยื่น แรงที่ปลาย: δ = PL³/(3EI)
คานยื่น น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: δ = wL⁴/(8EI)
การซ้อนทับ: δ = δ₁ + δ₂

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

2โจทย์ฝึก

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 20 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 110 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 75 kW ที่ 3000 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดปานกลาง

เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ

50 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัดยาก

คานวางบนจุดรองรับแบบหมุดที่ A และแบบลูกกลิ้งที่ B และมีส่วนยื่นเลย B ไป 2.5 m ถึงปลายอิสระ C แรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w กระทำตลอดความยาว A–C จงหาโมเมนต์ดัด M_B ที่จุดรองรับ B ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก

L = 10.5 mw = 3 kN/m จาก 0 ถึง 10.5 mจุดรองรับที่ x = 0 และ x = 8 m

M_B = kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ปานกลาง

แผ่น 150 mm × 200 mm มีรูกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm บนเส้นกึ่งกลางแนวดิ่ง โดยจุดศูนย์กลางอยู่สูงจากด้านล่าง 60 mm จงหาโมเมนต์ที่สองของพื้นที่ I_x รอบแกนนอนที่ผ่านเซนทรอยด์

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmจุดศูนย์กลางของรู: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ยาก

คานเหล็กหล่อมีหน้าตัดรูปตัว T ตามที่แสดง โดยปีกอยู่ด้านบน ความเค้นที่ยอมให้คือ 50 MPa สำหรับแรงดึง และ 150 MPa สำหรับแรงอัด จงหาโมเมนต์ดัดแอ่นลงมากที่สุด M_allow ที่คานรับได้

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 40 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 350 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σ_x = −80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.การแอ่นตัวของคานปานกลาง

คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน จงหามุมลาดเอียง θ_A ของคานที่จุดรองรับ A ในหน่วยเรเดียน

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.การแอ่นตัวของคานยาก

คานรับแรงสองจุดรับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w และแรงจุด P ที่กึ่งกลางช่วง ใช้การซ้อนทับหาระยะแอ่น δ_max ที่กึ่งกลางช่วง

P = 15 kNw = 10 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (ไม้เนื้อแข็ง)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm

P_cr = kN

14.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 55 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 55 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

3สารละลาย

1.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 141.5 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 28.29/200000 = 0.0001415 = 141.5 µε

คำตอบ

ε = 141.5 µε

2.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 350.1 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 155.6 MPa

σ₂ = 350.1 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 350.1 MPa

คำตอบ

σ_max = 350.1 MPa

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 2.162 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·79522) = 0.03773 rad

φ = 0.03773·180/π = 2.162°

คำตอบ

φ = 2.162°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 25 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·20/190984 = 25 MPa

คำตอบ

τ_max = 25 MPa

5.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: D (x = 3 m)

โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง

R₁ = 49 kN, R₂ = 49 kN

โมเมนต์ดัดที่ทุกเครื่องหมาย

รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 82, M_D = 111 kN·m, M_E = 82, M_F = 45, M_G = 0

คำตอบ

เครื่องหมาย D: M_D = 111 kN·m

6.แรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

คำตอบ: M_B = −9.375 kN·m

วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่

ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

สมดุลของคานทั้งหมด รวมถึงแรงกระทำบนส่วนยื่น

แรงลัพธ์ของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ: W = w·ℓ = 3·10.5 = 31.5 kN กระทำที่ x̄ = 5.25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·10.5·5.25

R_B = 165.4/8 = 20.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31.5 − 20.67 = 10.83 kN

ตัดที่ B แล้วเก็บส่วนยื่นไว้

แรงกระทำบนส่วนยื่น w·a กระทำที่ a/2 จาก B และทำให้คานโค้งคว่ำเหนือจุดรองรับ

M_B = −w·a²/2 = −3·2.5²/2 = −9.375 kN·m

คำตอบ

M_B = −9.375 kN·m

7.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: I_x = 98.8 × 10⁶ mm⁴

หน้าตัดที่มีรู: ถือว่ารูเป็นพื้นที่ลบ เซนทรอยด์คือ ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) โดย A₁, y₁ เป็นของแผ่นเต็ม และ A₂, y₂ เป็นของรู สำหรับโมเมนต์ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ ให้ใช้ทฤษฎีบทแกนขนานกับแต่ละส่วนแล้วลบรู: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²) โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของแต่ละส่วนไปยังแกนที่ผ่าน ȳ สี่เหลี่ยมผืนผ้ามี I_c = bh³/12 และวงกลมมี I_c = πd⁴/64

เซนทรอยด์

ȳ = (30000·100 − 706.9·60)/(30000 − 706.9) = 101 mm

แผ่นเต็มรอบ ȳ

150·200³/12 + 30000·−0.9652² = 100 × 10⁶ mm⁴

รูรอบ ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−40.97² = 1.226 × 10⁶ mm⁴

ลบ

I_x = 98.8 × 10⁶ mm⁴

คำตอบ

I_x = 98.8 × 10⁶ mm⁴

8.เซนทรอยด์และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

คำตอบ: M_allow = 5.771 kN·m

พื้นที่ประกอบ: แบ่งหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซนทรอยด์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยพื้นที่ ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านเซนทรอยด์ได้จากการบวก bh³/12 ของแต่ละส่วนกับพจน์แกนขนาน A·d² โดย d คือระยะจากเซนทรอยด์ของส่วนนั้นถึงเซนทรอยด์รวม ความเค้นดัดคือ σ = M·y/I

เซนทรอยด์

ȳ = (3200·150 + 2520·70)/5720 = 114.8 mm

ขอบบน: c = 160 − 114.8 = 45.24 mm

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

I = 160·20³/12 + 3200·35.24² + 18·140³/12 + 2520·44.76² = 1.325 × 10⁷ mm⁴

โมเมนต์ที่แต่ละขอบยอมให้

แอ่นลง: ด้านบนรับแรงอัด ด้านล่างรับแรงดึง

ขอบบน: M = 150·1.325 × 10⁷/45.24 = 43.91 kN·m

ขอบล่าง: M = 50·1.325 × 10⁷/114.8 = 5.771 kN·m

ค่าที่เป็นตัวกำหนด

M_allow = min = 5.771 kN·m (ขอบล่าง)

คำตอบ

M_allow = 5.771 kN·m

9.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 75.55 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 105 MPa, R = √(45² + (−10)²) = 46.1 MPa

σ₁ = 151.1 MPa, σ₂ = 58.9 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(92.2, 151.1, 58.9)/2 = 75.55 MPa

คำตอบ

τ_abs = 75.55 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

10.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 3.264

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = −20 MPa, R = 60.83 MPa

σ₁ = 40.83 MPa, σ₂ = −80.83 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(40.83² − 40.83·(−80.83) + (−80.83)²) = 107.2 MPa

n = 350/107.2 = 3.264

คำตอบ

n = 3.264

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

11.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: θ_A = 0.02611 rad

การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ) มุมลาดเอียง θ = dv/dx คืออินทิกรัลครั้งแรกของ M/(EI) เมื่อใช้หน่วยสอดคล้องกันจะได้หน่วยเป็นเรเดียน

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

มุมลาดเอียงที่ปลาย

θ_A = wL³/(24EI) = 20·5000³/(24·3.99 × 10¹²) = 0.02611 rad

คำตอบ

θ_A = 0.02611 rad

นั่นคือ 1.496°

12.การแอ่นตัวของคาน

คำตอบ: δ_max = 1.855 mm

หน่วยที่สอดคล้องกัน

คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴

P = 15000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

น้ำหนักแต่ละตัวแยกกัน

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·1500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 1.141 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·1500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 0.7134 mm

บวกเข้าด้วยกัน

δ_max = 1.141 + 0.7134 = 1.855 mm

คำตอบ

δ_max = 1.855 mm

13.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 48.83 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

คำตอบ

P_cr = 48.83 kN

14.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 51.61 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 51.61 mm

คำตอบ

d = 51.61 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 193.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials