วิธีเชิงตัวเลข: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ประมาณ ∫₀² sin x dx ด้วยกฎของซิมป์สัน n = 2 แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่แท้จริง จงหาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ |E| = |S − I|

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

2.วิธีเชิงตัวเลขยาก

ใช้วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) ด้วย h = 0.1 สำหรับ y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 เพื่อประมาณ y₂ ≈ y(0.2)

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0.1

y₂ =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่เข้า ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ k/(k + 2)B: Σ (k + 3)/k²C: Σ 2ᵏ/k!D: Σ 2ᵏ/k³

1A: Σ k/(k + 2)
2B: Σ (k + 3)/k²
3C: Σ 2ᵏ/k!
4D: Σ 2ᵏ/k³

4.ลำดับและอนุกรมยาก

จงจำอนุกรมและหาผลบวก: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·2^2k/(2k)!

a_k = (−1)ᵏ·2^2k/(2k)!

S =

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [−5 −2 −2; −4 1 −4; −5 −1 −4]

det A =

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

แก้ระบบสมการ −4x − 5y = −10 และ 4x − 6y = −7 หา x

−4x − 5y = −104x − 6y = −7

x =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 85 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 21 °C หลังผ่านไป 25 min อุณหภูมิเท่ากับ 39 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 32 °C

T₀ = 85 °CT_a = 21 °CT(25) = 39 °CT = 32 °C

t = min

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ y′ + 3y = 2e^−0.5t โดย y(0) = 3 จงหา y(1)

y′ + 3y = 2e^−0.5ty(0) = 3

y(1) =

3สารละลาย

1.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: |E| = 0.008914

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ค่าที่แท้จริง

I = 1.416147

กฎของซิมป์สัน

S = (1/3)·(0 + 4·0.841471 + 0.909297) = 1.42506

ความคลาดเคลื่อน

|E| = |1.42506 − 1.416147| = 0.008914

คำตอบ

|E| = 0.008914

ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์: 0.6294%

2.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y₂ = 0.203

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ขั้นของฮอยน์

y₁ = 0 + (0.1/2)(1 + 1.01) = 0.1005

y₂ = 0.1005 + (0.1/2)(1.01005 + 1.04029) = 0.203017

กราฟ

y₂ = 0.203

คำตอบ

y₂ = 0.203

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: C: Σ 2ᵏ/k!

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ k/(k + 2) → พจน์ลู่เข้าสู่ 1 ไม่ใช่ 0: ลู่ออกโดยการทดสอบพจน์ที่ n

B: Σ (k + 3)/k² → มีพฤติกรรมเหมือน 1/k สำหรับ k ขนาดใหญ่: ลู่ออกโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก

C: Σ 2ᵏ/k! → การทดสอบอัตราส่วน: L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1 ลู่เข้า

D: Σ 2ᵏ/k³ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 2 > 1 ลู่ออก

คำตอบ

C: Σ 2ᵏ/k!

คำตอบ

C: Σ 2ᵏ/k!

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = −0.4161

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

อนุกรมมาตรฐาน

Σ (−1)ᵏx^2k/(2k)! = cos x

แทนค่า

x = 2

S = cos 2 = −0.4161

คำตอบ

S = −0.4161

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = 14

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = −8, M₁₂ = −4, M₁₃ = 9

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = (−5)·(−8) − (−2)·(−4) + (−2)·9 = 14

คำตอบ

det A = 14

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 0.5682

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = (−4)·(−6) − (−5)·4 = 44

แทนหลัก x

det Aₓ = (−10)·(−6) − (−5)·(−7) = 25

x = 25/44 = 0.5682

คำตอบ

x = 0.5682

y = 1.545

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 34.71 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(64/18)/25 = 0.05074 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(64/11)/0.05074 = 34.71 min

คำตอบ

t = 34.71 min

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1) = 0.5948

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 2e^2.5t

คำตอบทั่วไป

y = 2/2.5·e^−0.5t + C·e^−3t = 0.8·e^−0.5t + C·e^−3t

เงื่อนไขเริ่มต้น

3 = 0.8 + C → C = 2.2

คำนวณค่า

y(1) = 0.8·0.6065 + 2.2·0.04979 = 0.5948

คำตอบ

y(1) = 0.5948

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods