วิธีเชิงตัวเลข: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ประมาณ ∫₀^1.5 √(1 + x³) dx ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้ n = 5 แถบ ให้ T

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 5

T =

2.วิธีเชิงตัวเลขยาก

ใช้วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) ด้วย h = 0.2 สำหรับ y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 เพื่อประมาณ y₃ ≈ y(0.6)

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0.2

y₃ =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่เข้า ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ (1 + 1/k)ᵏB: Σ (5/4)ᵏC: Σ (k + 3)/k²D: Σ (−1)ᵏ/k

1A: Σ (1 + 1/k)ᵏ
2B: Σ (5/4)ᵏ
3C: Σ (k + 3)/k²
4D: Σ (−1)ᵏ/k

4.ลำดับและอนุกรมยาก

จงจำอนุกรมและหาผลบวก: S = Σ_k=0^∞ (−2)ᵏ/k!

a_k = (−2)ᵏ/k!

S =

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

ให้ C = AB สำหรับเมทริกซ์ที่แสดง หาสมาชิก c₂₁ (แถว 2 หลัก 1)

A = [−2 3; −1 2]B = [−5 −4; 4 5]

c₂₁ =

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [3 4; 1 0]

λ =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 84 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 20 °C หลังผ่านไป 12 min อุณหภูมิเท่ากับ 39 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 57 °C

T₀ = 84 °CT_a = 20 °CT(12) = 39 °CT = 57 °C

t = min

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น y′ + 2y/x = 2 สำหรับ x > 0 โดย y(1) = 1 จงหา y(2)

y′ + 2y/x = 2y(1) = 1

y(2) =

3สารละลาย

1.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: T = 1.989

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

จุดต่อและค่า

h = 0.3

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1.01341 + 2·1.102724 + 2·1.314914 + 2·1.651666 + 2.09165 = 13.257079

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

T = (0.3/2)·13.257079 = 1.989

คำตอบ

T = 1.989

อินทิกรัลนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นเวลาที่ต้องใช้กฎเชิงตัวเลขพอดี

2.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y₃ = 0.6799

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ขั้นของฮอยน์

y₁ = 0 + (0.2/2)(1 + 1.039989) = 0.203999

y₂ = 0.203999 + (0.2/2)(1.040788 + 1.164117) = 0.424489

y₃ = 0.424489 + (0.2/2)(1.168981 + 1.384782) = 0.679866

กราฟ

y₃ = 0.6799

คำตอบ

y₃ = 0.6799

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: D: Σ (−1)ᵏ/k

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ (1 + 1/k)ᵏ → พจน์ลู่เข้าสู่ e ไม่ใช่ 0: ลู่ออกโดยการทดสอบพจน์ที่ n

B: Σ (5/4)ᵏ → อนุกรมเรขาคณิตที่ r = 5/4 > 1: พจน์เพิ่มขึ้น ดังนั้นลู่ออก

C: Σ (k + 3)/k² → มีพฤติกรรมเหมือน 1/k สำหรับ k ขนาดใหญ่: ลู่ออกโดยการเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก

D: Σ (−1)ᵏ/k → อนุกรมสลับ โดย 1/k ลดลงสู่ 0: ลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไข)

คำตอบ

D: Σ (−1)ᵏ/k

คำตอบ

D: Σ (−1)ᵏ/k

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = 0.1353

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

อนุกรมมาตรฐาน

Σ xᵏ/k! = eˣ

แทนค่า

x = −2

S = e⁻² = 0.1353

คำตอบ

S = 0.1353

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: c₂₁ = 13

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

แถวคูณหลัก

c₂₁ = (−1)·(−5) + 2·4 = 13

คำตอบ

c₂₁ = 13

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 4

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (3)λ + (−4) = 0

แก้สมการ

λ = (3 ± √(25))/2 → λ = −1, 4

λ = 4

คำตอบ

λ = 4

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 5.414 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(64/19)/12 = 0.1012 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(64/37)/0.1012 = 5.414 min

คำตอบ

t = 5.414 min

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(2) = 1.417

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^{∫2/x dx} = x²

อินทิเกรต

(x²y)′ = 2x² → x²y = 2x³/3 + C

เงื่อนไขเริ่มต้น

1 = 2/3 + C → C = 0.3333

คำนวณค่า

y(2) = (2·2³/3 + 0.3333)/2² = 1.417

คำตอบ

y(2) = 1.417

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods