วิธีเชิงตัวเลข: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ประมาณ ∫₀² 1/(1 + x³) dx ด้วยกฎของซิมป์สันโดยใช้ n = 6 แถบ ให้ S

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 6

S =

2.วิธีเชิงตัวเลขยาก

ทำหนึ่งขั้นของวิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) ด้วย h = 0.1 สำหรับ y′ = cos t − y, y(0) = 0.5 จงหา y₁ ≈ y(0.1)

y′ = cos t − yy(0) = 0.5h = 0.1

y₁ =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

อนุกรมกำลัง Σ_k=1^∞ 3ᵏ·(x − 2)ᵏ/(k + 1) ลู่เข้าบนช่วงรอบ x₀ = 2 จงหาปลายด้านซ้าย x ของช่วงนั้น

Σ 3ᵏ·(x − 2)ᵏ/(k + 1)x₀ = 2

x =

4.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 4 ของ f(x) = cos(2x) เพื่อประมาณ f(−1) ให้ P₄(−1)

f(x) = cos(2x)n = 4x = −1

P₄(−1) =

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [4 4 −1; 3 −2 2; −2 −3 −2]

det A =

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

แก้ระบบสมการ 5x − 2y = −1 และ 4x + 3y = 2 หา x

5x − 2y = −14x + 3y = 2

x =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

ชิ้นส่วนเหล็กหลอมอุณหภูมิ 320 °C ถูกวางทิ้งไว้ให้เย็นลงในโรงงานที่มีอุณหภูมิ 26 °C หลังผ่านไป 18 min อุณหภูมิเท่ากับ 146 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 233 °C

T₀ = 320 °CT_a = 26 °CT(18) = 146 °CT = 233 °C

t = min

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำ 400 L ซึ่งมีเกลือละลายอยู่ 10 kg น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.2 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 20 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน หลังผ่านไป 20 min จะมีเกลือในถังเท่าใด m

V = 400 Lm₀ = 10 kgc = 0.2 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3สารละลาย

1.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: S = 1.091

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

จุดต่อและค่า

h = 0.3333

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.964286 + 2·0.771429 + 4·0.5 + 2·0.296703 + 4·0.177632 + 0.111111 = 9.815044

กฎของซิมป์สัน

S = (0.3333/3)·9.815044 = 1.091

คำตอบ

S = 1.091

อินทิกรัลนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นเวลาที่ต้องใช้กฎเชิงตัวเลขพอดี

2.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y₁ = 0.5474

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

สี่ความชัน

k₁ = f(0, 0.5) = 0.5

k₂ = f(0.05, 0.525) = 0.47375

k₃ = f(0.05, 0.523688) = 0.475063

k₄ = f(0.1, 0.547506) = 0.447498

รวมกัน

y₁ = 0.5 + (0.1/6)(0.5 + 2·0.47375 + 2·0.475063 + 0.447498) = 0.5474

คำตอบ

y₁ = 0.5474

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: x = 1.667

สัมประสิทธิ์

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k + 2)/(k + 1) → 0.3333

รัศมี

R = 0.3333

ช่วง

1.667 < x < 2.333

x = 1.667

คำตอบ

x = 1.667

การทดสอบอัตราส่วนไม่บอกอะไรที่จุดปลายทั้งสอง ต้องตรวจแยกต่างหาก

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₄(−1) = −0.3333

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₄(x) = 1 − 2x² + 0.6667x⁴

แทนค่า

P₄(−1) = 1 − 2 + 0.666667 = −0.3333

คำตอบ

P₄(−1) = −0.3333

ค่าที่แท้จริงคือ f(−1) = −0.416147; ความคลาดเคลื่อน −0.0828135 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = 61

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = 10, M₁₂ = −2, M₁₃ = −13

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = 4·10 − 4·(−2) + (−1)·(−13) = 61

คำตอบ

det A = 61

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 0.04348

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = 5·3 − (−2)·4 = 23

แทนหลัก x

det Aₓ = (−1)·3 − (−2)·2 = 1

x = 1/23 = 0.04348

คำตอบ

x = 0.04348

y = 0.6087

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 7.048 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(294/120)/18 = 0.04978 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(294/207)/0.04978 = 7.048 min

คำตอบ

t = 7.048 min

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: m = 54.25 kg

ตั้งสมการ

dm/dt = 20·0.2 − (20/400)·m = 4 − 0.05·m

แก้สมการ

ตัวคูณอินทิเกรตคือ e^rt/V คำตอบเข้าใกล้ค่าสมดุล c·V

m(t) = 80 + (−70)·e^−t/20

แทนค่า t

m(20) = 80 + (−70)·0.3679 = 54.25 kg

คำตอบ

m = 54.25 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods