วิธีเชิงตัวเลข: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ประมาณ ∫₁⁴ 1/x dx ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู n = 2 แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่แท้จริง จงหาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ |E| = |T − I|

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2

|E| =

2.วิธีเชิงตัวเลขยาก

ทำหนึ่งขั้นของวิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) ด้วย h = 0.1 สำหรับ y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0.5 จงหา y₁ ≈ y(0.1)

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.1

y₁ =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่ออก ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ (5k + 1)/(k + 2)B: Σ 5/k³C: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 1/(k² + 6)

1A: Σ (5k + 1)/(k + 2)
2B: Σ 5/k³
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ 1/(k² + 6)

4.ลำดับและอนุกรมยาก

จงจำอนุกรมและหาผลบวก: S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1/k

a_k = (−1)^k+1/k

S =

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [−1 −3 3; −3 −1 1; −2 0 4]

det A =

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

หาค่าเฉพาะที่มากกว่า λ ของเมทริกซ์ A ที่แสดง

A = [5 4; −6 −6]

λ =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 85 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 24 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) เมื่อ k = 0.09 min⁻¹ จงหาอุณหภูมิ T หลังผ่านไป 12 min

T₀ = 85 °CT_a = 24 °Ck = 0.09 min⁻¹t = 12 min

T = °C

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำ 500 L ซึ่งมีเกลือละลายอยู่ 20 kg น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.05 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 2 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน หลังผ่านไป 100 min จะมีเกลือในถังเท่าใด m

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0.05 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3สารละลาย

1.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: |E| = 0.1512

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ค่าที่แท้จริง

I = 1.386294

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

T = (1.5/2)·(1 + 2·0.4 + 0.25) = 1.5375

ความคลาดเคลื่อน

|E| = |1.5375 − 1.386294| = 0.1512

คำตอบ

|E| = 0.1512

ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์: 10.91%

2.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y₁ = 0.6028

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

สี่ความชัน

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.05, 0.55) = 1.027497

k₃ = f(0.05, 0.551375) = 1.027565

k₄ = f(0.1, 0.602757) = 1.060239

รวมกัน

y₁ = 0.5 + (0.1/6)(1 + 2·1.027497 + 2·1.027565 + 1.060239) = 0.6028

คำตอบ

y₁ = 0.6028

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: A: Σ (5k + 1)/(k + 2)

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ (5k + 1)/(k + 2) → พจน์ลู่เข้าสู่ 5 ไม่ใช่ 0: ลู่ออกโดยการทดสอบพจน์ที่ n

B: Σ 5/k³ → p-อนุกรมที่ p = 3 > 1: ลู่เข้า

C: Σ (−1)ᵏ/√k → อนุกรมสลับ โดย 1/√k ลดลงสู่ 0: ลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไข)

D: Σ 1/(k² + 6) → น้อยกว่า 1/k² ซึ่งเป็น p-อนุกรมที่ลู่เข้า: ลู่เข้าโดยการเปรียบเทียบ

คำตอบ

A: Σ (5k + 1)/(k + 2)

คำตอบ

A: Σ (5k + 1)/(k + 2)

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: S = 0.6931

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

อนุกรมมาตรฐาน

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

แทนค่า

x = 1

S = ln 2 = 0.6931

คำตอบ

S = 0.6931

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = −32

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = −4, M₁₂ = −10, M₁₃ = −2

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = (−1)·(−4) − (−3)·(−10) + 3·(−2) = −32

คำตอบ

det A = −32

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: λ = 2

สมการลักษณะเฉพาะ

λ² − (−1)λ + (−6) = 0

แก้สมการ

λ = (−1 ± √(25))/2 → λ = −3, 2

λ = 2

คำตอบ

λ = 2

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: T = 44.72 °C

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

คำตอบของกฎการเย็นตัว

T(t) = 24 + 61·e^−0.09t

แทนค่า t

T(12) = 24 + 61·0.3396 = 44.72 °C

คำตอบ

T = 44.72 °C

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: m = 21.65 kg

ตั้งสมการ

dm/dt = 2·0.05 − (2/500)·m = 0.1 − 0.004·m

แก้สมการ

ตัวคูณอินทิเกรตคือ e^rt/V คำตอบเข้าใกล้ค่าสมดุล c·V

m(t) = 25 + (−5)·e^−t/250

แทนค่า t

m(100) = 25 + (−5)·0.6703 = 21.65 kg

คำตอบ

m = 21.65 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods