วิธีเชิงตัวเลข: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

ลำดับและอนุกรม

ลำดับเลขคณิต: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
ลำดับเรขาคณิต: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
อนุกรมเรขาคณิตอนันต์: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-อนุกรม: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
การทดสอบอัตราส่วน: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
รัศมีการลู่เข้า: R = lim |c_k/c_k+1|
พหุนามเทย์เลอร์: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
อนุกรมแมคคลอริน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

วิธีการ

ระบุชนิด: เลขคณิต (ผลต่างคงที่) เรขาคณิต (อัตราส่วนคงที่) อนุกรมมาตรฐาน อนุกรมกำลัง หรือพหุนามเทย์เลอร์
สำหรับผลบวกใช้ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) หรือ S = a₁/(1 − r) เมื่อ |r| < 1 โดย a₁ คือพจน์แรกของผลบวก
สำหรับการลู่เข้า: การทดสอบพจน์ที่ n ก่อน แล้วเปรียบเทียบกับ Σ1/kᵖ หรืออนุกรมเรขาคณิต และใช้การทดสอบอัตราส่วนหรือรากสำหรับแฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง k
สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ ให้เขียนรายการ f(a), f′(a), f″(a), … หารอนุพันธ์อันดับ k ด้วย k! และหาขอบเขตความคลาดเคลื่อนด้วย M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

ดีเทอร์มินันต์ 2×2: det = ad − bc
อินเวอร์สของ 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
ผลิตภัณฑ์: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
ค่าเฉพาะ: det(A − λI) = 0
กฎของคราเมอร์: x_i = det(A_i)/det(A)

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2โจทย์ฝึก

1.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ประมาณ ∫₀¹ √(1 + x³) dx ด้วยกฎของซิมป์สันโดยใช้ n = 2 แถบ ให้ S

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

2.วิธีเชิงตัวเลขยาก

จงแก้ y′ = −2ty, y(0) = 3 ด้วยวิธีออยเลอร์และขั้น h = 0.25 จนถึง t = 1 คำตอบที่แท้จริงคือ y = y₀e^−t² จงหาความคลาดเคลื่อนรวม |E| = |y(1) − y₄|

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0.25

|E| =

3.ลำดับและอนุกรมปานกลาง

มีเพียงหนึ่งในสี่อนุกรมเท่านั้นที่ลู่ออก ให้คลิกอนุกรมนั้น

A: Σ k/2ᵏB: Σ 1/k⁴C: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 3ᵏ/k³

1A: Σ k/2ᵏ
2B: Σ 1/k⁴
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ 3ᵏ/k³

4.ลำดับและอนุกรมยาก

ใช้พหุนามแมคคลอรินดีกรี 3 ของ f(x) = ln(1 + 2x) เพื่อประมาณ f(0.25) ให้ P₃(0.25)

f(x) = ln(1 + 2x)n = 3x = 0.25

P₃(0.25) =

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ปานกลาง

หาดีเทอร์มินันต์ det A ของเมทริกซ์ 3×3 A ที่แสดง

A = [4 4 2; −3 4 −3; 4 −2 3]

det A =

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์ยาก

แก้ระบบสมการ 2x + y = 9 และ −x + y = −11 หา x

2x + y = 9−x + y = −11

x =

7.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 4y′ + 4y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 4 จงหา y(1)

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(1) =

8.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 26y = 260 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด y_max ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3สารละลาย

1.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: S = 1.109

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

จุดต่อและค่า

h = 0.5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1.06066 + 1.414214 = 6.656854

กฎของซิมป์สัน

S = (0.5/3)·6.656854 = 1.109

คำตอบ

S = 1.109

อินทิกรัลนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นเวลาที่ต้องใช้กฎเชิงตัวเลขพอดี

2.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: |E| = 0.1268

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ขั้นของออยเลอร์

y₄ = 1.230469

ค่าที่แท้จริง

y(1) = 1.103638

ความคลาดเคลื่อนรวม

|E| = |1.103638 − 1.230469| = 0.1268

กราฟ

คำตอบ

|E| = 0.1268

การลด h ลงครึ่งหนึ่งทำให้ความคลาดเคลื่อนของวิธีออยเลอร์ลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง

3.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: D: Σ 3ᵏ/k³

ทดสอบแต่ละอนุกรม

A: Σ k/2ᵏ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 1/2 < 1 ลู่เข้า

B: Σ 1/k⁴ → p-อนุกรมที่ p = 4 > 1: ลู่เข้า

C: Σ (−1)ᵏ/√k → อนุกรมสลับ โดย 1/√k ลดลงสู่ 0: ลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไข)

D: Σ 3ᵏ/k³ → การทดสอบอัตราส่วน: L = 3 > 1 ลู่ออก

คำตอบ

D: Σ 3ᵏ/k³

คำตอบ

D: Σ 3ᵏ/k³

4.ลำดับและอนุกรม

คำตอบ: P₃(0.25) = 0.4167

พหุนามเทย์เลอร์: ใกล้ x = a ฟังก์ชันเรียบประมาณได้ด้วย Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; สำหรับ a = 0 นี่คือพหุนามแมคคลอริน อนุกรมมาตรฐาน: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของลากรองจ์: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! โดย M คือค่าที่มากที่สุดของ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| ระหว่าง a และ x

พหุนามแมคคลอริน

P₃(x) = 2x − 2x² + 2.667x³

แทนค่า

P₃(0.25) = 0.5 − 0.125 + 0.0416667 = 0.4167

คำตอบ

P₃(0.25) = 0.4167

ค่าที่แท้จริงคือ f(0.25) = 0.405465; ความคลาดเคลื่อน −0.0112016 ลดลงเมื่อใช้พจน์มากขึ้นหรือจุดที่ใกล้ 0 มากขึ้น

5.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: det A = −8

เมทริกซ์: ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 คือ ad − bc สำหรับ 3×3 ให้กระจายตามแถว: แต่ละสมาชิกคูณดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ 2×2 ที่เหลือหลังตัดแถวและหลักของมันออก โดยเครื่องหมายสลับ + − + ค่าเฉพาะ λ เป็นคำตอบของ det(A − λI) = 0 สำหรับ 2×2 คือ λ² − (trace)·λ + det = 0

ไมเนอร์ 2×2 ของแถวแรก

M₁₁ = 6, M₁₂ = 3, M₁₃ = −10

การกระจายโคแฟกเตอร์

det A = 4·6 − 4·3 + 2·(−10) = −8

คำตอบ

det A = −8

6.เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์

คำตอบ: x = 6.667

ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

det A = 2·1 − 1·(−1) = 3

แทนหลัก x

det Aₓ = 9·1 − 1·(−11) = 20

x = 20/3 = 6.667

คำตอบ

x = 6.667

y = −4.333

7.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1) = 2.571

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากซ้ำ

(r + 2)² = 0 → r = −2

ค่าคงที่

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 2A → B = 4 + 10 = 14

คำนวณค่า

y(1) = (5 + 14·1)·e⁻² = 2.571

คำตอบ

y(1) = 2.571

8.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y_max = 15.33

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 10, r = −1 ± 5j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −2

ยอด

t = π/5 = 0.6283

y_max = 10·(1 + e^−1·π/5) = 15.33

คำตอบ

y_max = 15.33

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods