ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
−−2 µC++2 µC−−6 µC18 cm + 12 cm

ประจุจุดสามประจุอยู่บนเส้นตรง: −2 µC ทางซ้าย −6 µC ทางขวาห่างออกไป 30 cm และ +2 µC อยู่ระหว่างกลางห่างจากประจุซ้าย 18 cm จงหาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อประจุตรงกลาง Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −2 µCqR = −6 µCqM = +2 µCrL = 18 cmrR = 12 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
+ + + + + +− − − − − −e⁻3 × 10⁷ m/s8 cmE = 2700 N/C

อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 3 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 8 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 2700 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 2700 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​2 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​10 Vt = 0R1​ = 3.3 kΩR2​ = 2.2 kΩC220 µF+−vC​

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 400 ms

Vs = 10 VR1 = 3.3 kΩR2 = 2.2 kΩC = 220 µFt = 400 ms
vC = V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​12 Vt = 0R = 2.2 kΩC?+−vC​

ตัวตั้งเวลาเริ่มประจุตัวเก็บประจุที่ไม่มีประจุผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่าย 12 V ที่ t = 0 ต้องทริกเกอร์เมื่อแรงดันตัวเก็บประจุถึง 7.2 V พอดี 250 ms หลังเริ่ม เมื่อ R = 2.2 kΩ จงหาความจุ C ที่ต้องการ

Vs = 12 VVth = 7.2 VT = 250 msR = 2.2 kΩ
C = µF
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
+v = 4 × 10⁶ m/sr = ?B = 0.5 T

อนุภาคแอลฟา เคลื่อนที่ด้วย 4 × 10⁶ m/s ตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.5 T จงหารัศมี r ของเส้นทางวงกลมของมัน

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 0.5 T
r = cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
l = 20 cmN = 1500, ⌀ 5 cm

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 1500 รอบ ความยาว 20 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 5 cm จงหาความเหนี่ยวนำในตัวเอง L

N = 1500l = 20 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = mH
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
230 V500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4.7 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 500 Hz หากระแส rms I

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
I = A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
50 V60 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 20 ΩC = 100 µFI

ตัวต้านทาน R1 ต่ออนุกรมกับ R2 ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 50 V (rms) 60 Hz หากระแส rms I

V = 50 V (rms)f = 60 HzR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩC = 100 µF
I = A

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 6.382 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงจากแต่ละประจุ

ขวาเป็นบวก

FL = −k·2·2 × 10⁻¹²/0.18² = −1.11 N
FR = +k·6·2 × 10⁻¹²/0.12² = 7.492 N

แรงลัพธ์

F = −1.11 + (7.492) = 6.382 N → |F| = 6.382 N

คำตอบ

F = 6.382 N

แรงลัพธ์ชี้ไปทางขวา

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: y = 1.688 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

เวลาระหว่างแผ่น

t = L/v₀ = 0.08/3 × 10⁷ = 2.667 × 10⁻⁹ s

ความเร่งด้านข้าง

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2700/9.109 × 10⁻³¹ = 4.748 × 10¹⁴ m/s²

ระยะแอ่น

y = ½·a·t² = ½·4.748 × 10¹⁴·(2.667 × 10⁻⁹)² = 0.001688 m = 1.688 mm

คำตอบ

y = 1.688 mm

อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 5.238 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​2 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 15 + 2 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 4·17/(4+17) = 3.238 Ω
Req = R1 + 3.238 = 2 + 3.238 = 5.238 Ω

คำตอบ

Req = 5.238 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 16.74 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAR4​5 ΩBR6​5 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 3.438 Ω
R3 + 3.438 = 13.44 Ω
R2 ∥ 13.44 = 8.74 Ω
Req = R1 + 8.74 = 8 + 8.74 = 16.74 Ω

คำตอบ

Req = 16.74 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 2.991 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา Rth เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·2.2/(3.3 + 2.2) = 1.32 kΩ
vC(∞) = 10·2.2/(3.3 + 2.2) = 4 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = Rth·C = 1.32·220 = 290.4 ms

เส้นโค้งการประจุ

vC(t) = 4·(1 − e−400/290.4) = 2.991 V

คำตอบ

vC = 2.991 V
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: C = 124 µF

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงที่เวลาที่ต้องการ

7.2 = 12·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 7.2))
τ = 250/0.9163 = 272.8 ms

ความจุไฟฟ้า

kΩ คูณ µF ได้มิลลิวินาที

C = τ/R = 272.8/2.2 = 124 µF

คำตอบ

C = 124 µF
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: r = 16.59 cm

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

สมดุลแรง

แรงแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงทำให้เส้นทางโค้งเป็นวงกลม

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

รัศมี

r = 6.645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.5) = 0.1659 m = 16.59 cm

คำตอบ

r = 16.59 cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: L = 27.76 mH

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

หน้าตัด

A = π·(0.025)² = 0.001963 m²

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0.001963/0.2 = 0.02776 H = 27.76 mH

คำตอบ

L = 27.76 mH
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 2.539 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (89.35)²) = 90.6 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 230/90.6 = 2.539 A

คำตอบ

I = 2.539 A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 1.141 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

ส่วนที่ต่อขนาน

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Zp เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 12.75 − j9.614 Ω

อิมพีแดนซ์รวม

Z = 30 + 12.75 − j9.614 = 42.75 − j9.614 Ω
|Z| = √(42.75² + 9.614²) = 43.82 Ω

กระแส

I = V/|Z| = 50/43.82 = 1.141 A

คำตอบ

I = 1.141 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism