กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −2 µC และ +3 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 30 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −2 µCq2 = +3 µCr = 30 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ประจุ +4 µC และ −4 µC อยู่ห่างกัน 8 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 10 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +4 µCq2 = −4 µCd = 8 cmh = 10 cm
E = N/C
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 25 ΩR4 = 2 ΩR5 = 3 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 1.5 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R หากระแส i ที่ t = 25 ms
i(0) = 1.5 AR = 10 ΩL = 220 mHt = 25 ms
i = A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 20.8 V หา t
Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 68 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
ลูปวงกลมวางในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอที่ชี้เข้าหน้ากระดาษ ความแรงของสนามกำลังเพิ่มขึ้น ให้คลิกทิศทางของกระแสเหนี่ยวนำในลูปตามที่เห็นในรูป
B: เข้าหน้ากระดาษdB/dt > 0
- 1ตามเข็มนาฬิกา
- 2ทวนเข็มนาฬิกา
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ดิวเทอรอน ผ่านตัวเลือกความเร็วโดยไม่เบี่ยงเบน ซึ่งมีสนามที่ตั้งฉากกัน E = 5 × 10⁴ V/m และ B₁ = 0.4 T จากนั้นเข้าสู่บริเวณที่สองซึ่งมีเพียงสนามแม่เหล็ก B₂ = 0.8 T เป็นมุมฉาก จงหารัศมี r ของเส้นทางของมันที่นั่น
E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0.4 TB2 = 0.8 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 24 V (rms) 500 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|
V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mH
|Z| = Ω
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 100 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f0 ของวงจร
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF
f0 = Hz
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: F = 0.02497 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
ประจุหลังแตะกัน
q′ = (−2 + 3)/2 = 0.5 µC
แรงใหม่
F = 8.99 × 10⁹·(0.5 × 10⁻⁶)²/0.3² = 0.02497 N
คำตอบ
F = 0.02497 N
ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 2.303 × 10⁶ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง
r = √(4² + 10²) = 10.77 cm
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.1077² = 3.1 × 10⁶ N/C
องค์ประกอบ
องค์ประกอบตามเส้นแบ่งครึ่งหักล้างกัน
E = 2·E1·(a/r) = 2·3.1 × 10⁶·0.3714 = 2.303 × 10⁶ N/C
คำตอบ
E = 2.303 × 10⁶ N/C
สนามชี้ขนานกับเส้นจากประจุบวกไปยังประจุลบ
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 3.452 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 6 + 20 = 26 Ω
R2 ∥ 26 = 3·26/(3+26) = 2.69 Ω
Req = R1 + 2.69 = 6 + 2.69 = 8.69 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 30/8.69 = 3.452 A
คำตอบ
IR1 = 3.452 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 12.7 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 3 + 30 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 1.886 Ω
R3 + 1.886 = 26.89 Ω
R2 ∥ 26.89 = 2.699 Ω
Req = R1 + 2.699 = 10 + 2.699 = 12.7 Ω
คำตอบ
Req = 12.7 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: i = 0.4815 A
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลา
τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms
การลดลงของกระแส
i(t) = 1.5·e−25/22 = 0.4815 A
คำตอบ
i = 0.4815 A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 514.4 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 68 µF = 319.6 ms
vC(t) = 24 + (8 − 24)·e−t/τ
แก้สมการหาเวลา
20.8 = 24 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (20.8 − 24)/(8 − 24) = 0.2
t = τ·ln((8 − 24)/(20.8 − 24)) = 319.6·ln(5) = 514.4 ms
คำตอบ
t = 514.4 ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ทวนเข็มนาฬิกา
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์
ฟลักซ์เข้าหน้ากระดาษเพิ่มขึ้น หรือฟลักซ์ออกจากหน้ากระดาษลดลง
สนามของกระแสเหนี่ยวนำ
กระแสเหนี่ยวนำต้านการเปลี่ยนแปลง
สนามเหนี่ยวนำภายในลูป: ออกจากหน้ากระดาษ
ทิศทางของกระแส
กฎมือขวา: กระแสทวนเข็มนาฬิกาให้สนามพุ่งออกจากหน้ากระดาษภายในลูป
ทวนเข็มนาฬิกา
คำตอบ
ทวนเข็มนาฬิกา
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: r = 0.3262 cm
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
อัตราเร็วที่ถูกเลือก
ไม่เบี่ยงเบน: แรงไฟฟ้า qE สมดุลกับแรงแม่เหล็ก qvB
v = E/B1 = 5 × 10⁴/0.4 = 125000 m/s
รัศมีในสนามที่สอง
r = mv/(|q|B2) = 0.003262 m = 0.3262 cm
คำตอบ
r = 0.3262 cm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: |Z| = 71.29 Ω
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
XL = ωL = 2π·500·0.05 = 157.1 Ω
กระแสในแต่ละสาขา
ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า
IR = V/R = 24/80 = 0.3 A
IX = V/XL = 24/157.1 = 0.1528 A
กระแสรวม
กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
I = √(IR² + IX²) = √(0.3² + 0.1528²) = 0.3367 A
อิมพีแดนซ์
|Z| = V/I = 24/0.3367 = 71.29 Ω
คำตอบ
|Z| = 71.29 Ω
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: f0 = 112.5 Hz
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
เรโซแนนซ์
ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·100·10⁻⁶)) = 112.5 Hz
คำตอบ
f0 = 112.5 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism