ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++6 µC++1 µCE = 020 cm

ประจุ +6 µC และ +1 µC อยู่ห่างกัน 20 cm ที่ระยะ x จากประจุ +6 µC บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์

q1 = +6 µCq2 = +1 µCd = 20 cm
x = cm
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
++P2 × 4 cm4 cm+5 µC+5 µC

ประจุ +5 µC และ +5 µC อยู่ห่างกัน 8 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 4 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = +5 µCd = 8 cmh = 4 cm
E = N/C
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 ΩR5 = 15 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​15 Vt = 0R = 50 ΩL220 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W(∞) ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำเมื่อวงจรเข้าสู่สถานะคงตัว ใน mJ

Vs = 15 VR = 50 ΩL = 220 mH
W(∞) = mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​10 Vเปิดที่ t = 0R1​ = 3.3 kΩR2​ = 2.2 kΩi2​C220 µF+−vC​

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแส i2 ผ่าน R2 ที่ t = 250 ms

Vs = 10 VR1 = 3.3 kΩR2 = 2.2 kΩC = 220 µFt = 250 ms
i2 = mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
R = 2 Ωv = 8 m/sL = 60 cmB = 0.1 T

แท่งโลหะยาว 60 cm เลื่อนด้วย 8 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.1 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ จงหา emf เหนี่ยวนำ ε ระหว่างปลายทั้งสองของมัน

B = 0.1 TL = 60 cmv = 8 m/s
ε = mV
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
L1​ = 10 mH20 A/sL2​ = 20 mHk = 0.2ε = ?

ขดลวดสองขดที่มีความเหนี่ยวนำในตัวเอง 10 mH และ 20 mH มีสัมประสิทธิ์การควบคู่ 0.2 กระแสในขดลวดแรกเปลี่ยนด้วยอัตรา 20 A/s จงหา emf ε ที่เหนี่ยวนำในขดลวดที่สอง

L1 = 10 mHL2 = 20 mHk = 0.2di/dt = 20 A/s
ε = V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
230 V200 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 22 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 200 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 22 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
120 V100 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 50 ΩC = 100 µF

ตัวต้านทาน R1 ต่ออนุกรมกับ R2 ที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุ C คร่อมแหล่งจ่าย 120 V (rms) 100 Hz หาขนาดของอิมพีแดนซ์ |Z|

V = 120 V (rms)f = 100 HzR1 = 10 ΩR2 = 50 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: x = 14.2 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

สนามเท่ากัน

6/x² = 1/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(1/6) = 0.4082

ตำแหน่ง

x = 20/(1 + 0.4082) = 14.2 cm

คำตอบ

x = 14.2 cm

จุดที่สนามเป็นศูนย์อยู่ใกล้ประจุที่เล็กกว่าเสมอ

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 1.987 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง

r = √(4² + 4²) = 5.657 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.05657² = 1.405 × 10⁷ N/C

องค์ประกอบ

องค์ประกอบตามเส้นที่เชื่อมประจุหักล้างกัน

E = 2·E1·(h/r) = 2·1.405 × 10⁷·0.7071 = 1.987 × 10⁷ N/C

คำตอบ

E = 1.987 × 10⁷ N/C

สนามชี้ตามเส้นแบ่งครึ่ง ออกจากประจุ

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 7.933 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 5 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 6 + 5 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2.933 Ω
Req = R1 + 2.933 = 5 + 2.933 = 7.933 Ω

คำตอบ

Req = 7.933 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 11.6 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​6 ΩBR6​20 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 15 + 20 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 5.122 Ω
R3 + 5.122 = 8.122 Ω
R2 ∥ 8.122 = 1.605 Ω
Req = R1 + 1.605 = 10 + 1.605 = 11.6 Ω

คำตอบ

Req = 11.6 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: W(∞) = 9.9 mJ

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms
i(∞) = Vs/R = 15/50 = 0.3 A

พลังงานที่สะสม

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·0.3² = 9.9 mJ

คำตอบ

W(∞) = 9.9 mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i2 = 1.085 mA

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

vC(0) = 10·2.2/(3.3 + 2.2) = 4 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R2·C = 2.2·220 = 484 ms

การคายประจุ

vC(t) = 4·e−250/484 = 2.386 V
i2 = vC/R2 = 2.386/2.2 = 1.085 mA

คำตอบ

i2 = 1.085 mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 480 mV

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf จากการเคลื่อนที่

ε = BLv = 0.1·0.6·8 = 0.48 V

คำตอบ

ε = 480 mV
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 0.05657 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

ความเหนี่ยวนำร่วม

M = 0.2·√(10·20) = 2.828 mH

emf เหนี่ยวนำ

ε = M·di/dt = 0.002828·20 = 0.05657 V

คำตอบ

ε = 0.05657 V
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 86.91 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (278)²) = 278.4 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(278/15) = 86.91°

คำตอบ

φ = 86.91°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: |Z| = 20.54 Ω

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

ส่วนที่ต่อขนาน

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุคเชิงซ้อนเพื่อแยก Zp เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 4.6 − j14.45 Ω

อิมพีแดนซ์รวม

Z = 10 + 4.6 − j14.45 = 14.6 − j14.45 Ω
|Z| = √(14.6² + 14.45²) = 20.54 Ω

คำตอบ

|Z| = 20.54 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism