กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุ +2 µC และ +1 µC อยู่ห่างกัน 100 cm ที่ระยะ x จากประจุ +2 µC บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์
q1 = +2 µCq2 = +1 µCd = 100 cm
x = cm
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 5 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 10 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 2100 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm
v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 2100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หากระแส IR2 ผ่าน R2
V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 30 ΩR4 = 6 ΩR5 = 10 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 จงหาพลังงาน W ที่สะสมในตัวเหนี่ยวนำที่ t = 5 ms ใน mJ
Vs = 6 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms
W = mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 8.4 V หา t
Vs = 9 VR = 3.3 kΩC = 22 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
โปรตอน เคลื่อนที่ด้วย 2.5 × 10⁶ m/s ตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 1.5 T จงหารัศมี r ของเส้นทางวงกลมของมัน
m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2.5 × 10⁶ m/sB = 1.5 T
r = cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ในตัวเลือกความเร็ว สนามที่ตั้งฉากกัน E = 5 × 10⁴ V/m และ B = 0.4 T ยอมให้เฉพาะไอออนที่มีอัตราเร็วค่าเดียวผ่านไปเป็นเส้นตรง จงหาอัตราเร็วนั้น v
E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0.4 T
v = m/s
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 50 V (rms) 100 Hz หากระแส rms I
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 20 mH
I = A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 2 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms VL ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ
V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 5 mHC = 10 µF
VL = V
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: x = 58.58 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
สนามเท่ากัน
2/x² = 1/(100 − x)²
(100 − x)/x = √(1/2) = 0.7071
ตำแหน่ง
x = 100/(1 + 0.7071) = 58.58 cm
คำตอบ
x = 58.58 cm
จุดที่สนามเป็นศูนย์อยู่ใกล้ประจุที่เล็กกว่าเสมอ
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: y = 0.7387 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
เวลาระหว่างแผ่น
t = L/v₀ = 0.1/5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s
ความเร่งด้านข้าง
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2100/9.109 × 10⁻³¹ = 3.693 × 10¹⁴ m/s²
ระยะแอ่น
y = ½·a·t² = ½·3.693 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0.0007387 m = 0.7387 mm
คำตอบ
y = 0.7387 mm
อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 0.7746 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 10·32/(10+32) = 7.619 Ω
Req = R1 + 7.619 = 4 + 7.619 = 11.62 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 9/11.62 = 0.7746 A
คำตอบ
IR1 = 0.7746 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR2 = 0.206 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 10 + 25 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 5.122 Ω
R3 + 5.122 = 35.12 Ω
R2 ∥ 35.12 = 7.784 Ω
Req = R1 + 7.784 = 30 + 7.784 = 37.78 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 10/37.78 = 0.2647 A
กระแสผ่าน R₂
ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.2647·30 = 2.06 V
IR2 = VA/R2 = 2.06/10 = 0.206 A
คำตอบ
IR2 = 0.206 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: W = 1.428 mJ
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms
i(∞) = Vs/R = 6/22 = 0.2727 A
กระแสที่เวลาที่กำหนด
i(t) = 0.2727·(1 − e−5/2.136) = 0.2465 A
พลังงานที่สะสม
W = ½·L·i² = ½·47·0.2465² = 1.428 mJ
คำตอบ
W = 1.428 mJ
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 37.09 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 22 µF = 72.6 ms
vC(t) = 9 + (8 − 9)·e−t/τ
แก้สมการหาเวลา
8.4 = 9 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (8.4 − 9)/(8 − 9) = 0.6
t = τ·ln((8 − 9)/(8.4 − 9)) = 72.6·ln(1.667) = 37.09 ms
คำตอบ
t = 37.09 ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: r = 1.741 cm
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
สมดุลแรง
แรงแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงทำให้เส้นทางโค้งเป็นวงกลม
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
รัศมี
r = 1.673 × 10⁻²⁷·2.5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·1.5) = 0.01741 m = 1.741 cm
คำตอบ
r = 1.741 cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: v = 125000 m/s
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
อัตราเร็วที่ถูกเลือก
ไม่เบี่ยงเบน: แรงไฟฟ้า qE สมดุลกับแรงแม่เหล็ก qvB
v = E/B1 = 5 × 10⁴/0.4 = 125000 m/s
คำตอบ
v = 125000 m/s
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: I = 4.453 A
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
XL = ωL = 2π·100·0.02 = 12.57 Ω
กระแสในแต่ละสาขา
ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า
IR = V/R = 50/25 = 2 A
IX = V/XL = 50/12.57 = 3.979 A
กระแสรวม
กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
I = √(IR² + IX²) = √(2² + 3.979²) = 4.453 A
คำตอบ
I = 4.453 A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: VL = 8.944 V
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
เรโซแนนซ์
ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·10·10⁻⁶) = 4472 rad/s
I = V/R = 2/5 = 0.4 A
แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ
XL = ω₀L = 4472·0.005 = 22.36 Ω
VL = I·XL = 0.4·22.36 = 8.944 V
คำตอบ
VL = 8.944 V
นี่คือ Q = 4.472 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism