ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +3 µC และประจุ +6 µC อยู่ห่างกัน 20 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 8 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCr₁ = 8 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 5 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 6 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 1 µC อยู่ห่างจากมันไป 10 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q₁ = 6 µCq₂ = 1 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน v_L คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 5 ms

V_s = 6 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 20 ms

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 20 ms

v_C = V

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ขดลวด 50 รอบ พื้นที่ 80 cm² และความต้านทาน 20 Ω ต่อเป็นวงจรปิด สนามสม่ำเสมอที่ตั้งฉากกับขดลวดเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจาก 0.05 T เป็น 0.35 T ใน 50 ms จงหากระแสเหนี่ยวนำเฉลี่ย I

N = 50A = 80 cm²B: 0.05 T → 0.35 TΔt = 50 msR = 20 Ω

I = mA

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวด 250 รอบ ขนาด 10 cm × 25 cm หมุนที่ 900 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.4 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms E_rms ของ emf

N = 250A = 10 cm × 25 cmB = 0.4 Tn = 900 rpm

E_rms = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 50 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 47 µF

φ = °

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมมี R = 5 Ω, L = 2 mH และ C = 1 µF จงหาแบนด์วิดท์ B (ความกว้างของแถบระหว่างความถี่กำลังครึ่ง) ใน Hz

R = 5 ΩL = 2 mHC = 1 µF

B = Hz

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 468229 N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.08² = 4.214 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.12² = 3.746 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |4.214 × 10⁶ − 3.746 × 10⁶| = 468229 N/C

คำตอบ

E = 468229 N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 108 N

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F₁ = k·6·5 × 10⁻¹²/0.05² = 107.9 N

F₂ = k·1·5 × 10⁻¹²/0.1² = 4.495 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(107.9² + 4.495²) = 108 N

คำตอบ

F = 108 N

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.7391 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_eq = R₁ + 3.529 = 10 + 3.529 = 13.53 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13.53 = 0.7391 A

คำตอบ

I_R1 = 0.7391 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 2.01 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 10 + 20 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 7.5 Ω

R₃ + 7.5 = 22.5 Ω

R₂ ∥ 22.5 = 6.923 Ω

R_eq = R₁ + 6.923 = 8 + 6.923 = 14.92 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14.92 = 2.01 A

คำตอบ

I_R1 = 2.01 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_L = 2.834 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms

i(∞) = V_s/R = 6/15 = 0.4 A

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−5/6.667 = 2.834 V

คำตอบ

v_L = 2.834 V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 0.4395 V

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

v_C(0) = 12·1/(10 + 1) = 1.091 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

การคายประจุ

v_C(t) = 1.091·e^−20/22 = 0.4395 V

คำตอบ

v_C = 0.4395 V

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: I = 120 mA

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = (0.35 − 0.05)·0.008 = 0.0024 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0024/0.05 = 2.4 V

กระแส

I = ε/R = 2.4/20 = 0.12 A

คำตอบ

I = 120 mA

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: E_rms = 166.6 V

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s

A = 0.025 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 250·0.4·0.025·94.25 = 235.6 V

ค่า rms

E_rms = 235.6/√2 = 166.6 V

คำตอบ

E_rms = 166.6 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = −5.59 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−4.894)²) = 50.24 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−4.894/50) = −5.59°

คำตอบ

φ = −5.59°

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: B = 397.9 Hz

ความถี่เรโซแนนซ์

f₀ = 1/(2π·√(0.002·1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.002/(1·10⁻⁶)) = 8.944

แบนด์วิดท์

B = f₀/Q = 3559/8.944 = 397.9 Hz

คำตอบ

B = 397.9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism