ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++5 µC−−6 µCr = 20 cm

ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ +5 µC และ −6 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 20 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = −6 µCr = 20 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
L = 20 cm5°qq

ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 5 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 20 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 5° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 20 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 18 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​5 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
+−Vs​5 Vt = 0R = 20 ΩL47 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 99% ของค่าสุดท้าย หา t

Vs = 5 VR = 20 ΩL = 47 mH
t = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 8 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 100 ms

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 Vt = 100 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
+v = 5 × 10⁵ m/sr = ?B = 0.2 T

โปรตอน เคลื่อนที่ด้วย 5 × 10⁵ m/s ตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.2 T จงหารัศมี r ของเส้นทางวงกลมของมัน

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁵ m/sB = 0.2 T
r = cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
l = 10 cmN = 300, ⌀ 3 cm

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 300 รอบ ความยาว 10 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 3 cm จงหาความเหนี่ยวนำในตัวเอง L

N = 300l = 10 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
50 V1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 1000 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
10 V100 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF+−VC​

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 10 V (rms) 100 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
VC = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 0.05619 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ประจุหลังแตะกัน

q′ = (5 + −6)/2 = −0.5 µC

แรงใหม่

F = 8.99 × 10⁹·(0.5 × 10⁻⁶)²/0.2² = 0.05619 N

คำตอบ

F = 0.05619 N

ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: q = 24.09 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงไฟฟ้าจากสมดุล

องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 5° = 0.004291 N

ระยะห่าง

r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 5° = 0.03486 m

ประจุ

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.03486·√(0.004291/8.99 × 10⁹) = 2.409 × 10⁻⁸ C = 24.09 nC

คำตอบ

q = 24.09 nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 9.714 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 4 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​8 ΩAR4​8 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 12 + 8 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω
Req = R1 + 5.714 = 4 + 5.714 = 9.714 Ω

คำตอบ

Req = 9.714 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 1.013 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAR4​12 ΩBR6​5 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 6.667 Ω
R3 + 6.667 = 14.67 Ω
R2 ∥ 14.67 = 9.851 Ω
Req = R1 + 9.851 = 2 + 9.851 = 11.85 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 12/11.85 = 1.013 A

คำตอบ

IR1 = 1.013 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 10.82 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms
i(∞) = Vs/R = 5/20 = 0.25 A

แก้สมการหาเวลา

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −2.35·ln(0.01) = 10.82 ms

คำตอบ

t = 10.82 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 8.731 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms
vC(t) = 10 + (8 − 10)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(100) = 10 + (−2)·e−100/220 = 8.731 V

คำตอบ

vC = 8.731 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: r = 2.611 cm

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

สมดุลแรง

แรงแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงทำให้เส้นทางโค้งเป็นวงกลม

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

รัศมี

r = 1.673 × 10⁻²⁷·5 × 10⁵/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.2) = 0.02611 m = 2.611 cm

คำตอบ

r = 2.611 cm
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: L = 799.4 µH

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

หน้าตัด

A = π·(0.015)² = 0.0007069 m²

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0.0007069/0.1 = 0.0007994 H = 799.4 µH

คำตอบ

L = 799.4 µH
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 78.32 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (241.8)²) = 246.9 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(241.8/50) = 78.32°

คำตอบ

φ = 78.32°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VC = 13.17 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.15 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−244.4)²) = 257.1 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 10/257.1 = 0.03889 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

VC = I·XC = 0.03889·338.6 = 13.17 V

คำตอบ

VC = 13.17 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism