ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +3 µC และประจุ −8 µC อยู่ห่างกัน 50 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 25 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +3 µCq₂ = −8 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 3 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 50 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 15° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 50 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงจรหลังสวิตช์ปิด

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 100 µF

τ = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 2 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 4.8 V หา t

V_s = 9 VR = 2.2 kΩC = 10 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

แท่งโลหะยาว 50 cm เลื่อนด้วย 3 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.2 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ รางเชื่อมกันด้วยตัวต้านทาน 0.5 Ω; แท่งและรางมีความต้านทานน้อยมากจนไม่ต้องคิด จงหากระแส I

B = 0.2 TL = 50 cmv = 3 m/sR = 0.5 Ω

I = mA

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวด 500 รอบ ขนาด 15 cm × 20 cm หมุนที่ 300 rpm ในสนามสม่ำเสมอ 0.05 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม จงหาค่า rms E_rms ของ emf

N = 500A = 15 cm × 20 cmB = 0.05 Tn = 300 rpm

E_rms = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 100 V (rms) 200 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mH

φ = °

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 12 V (rms) 50 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 1.582 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.25² = 431520 N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.25² = 1.151 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน

E = |431520 + 1.151 × 10⁶| = 1.582 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 1.582 × 10⁶ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: q = 242.4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงไฟฟ้าจากสมดุล

องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g

F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 15° = 0.007886 N

ระยะห่าง

r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 15° = 0.2588 m

ประจุ

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2588·√(0.007886/8.99 × 10⁹) = 2.424 × 10⁻⁷ C = 242.4 nC

คำตอบ

q = 242.4 nC

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.6042 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 10·19/(10+19) = 6.552 Ω

R_eq = R₁ + 6.552 = 10 + 6.552 = 16.55 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 10/16.55 = 0.6042 A

คำตอบ

I_R1 = 0.6042 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.3121 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 8 + 12 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 5.714 Ω

R₃ + 5.714 = 15.71 Ω

R₂ ∥ 15.71 = 7.674 Ω

R_eq = R₁ + 7.674 = 12 + 7.674 = 19.67 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 12/19.67 = 0.6099 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.6099·12 = 4.681 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.681/15 = 0.3121 A

คำตอบ

I_R2 = 0.3121 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: τ = 180.3 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา R_th เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·2.2/(10 + 2.2) = 1.803 kΩ

v_C(∞) = 12·2.2/(10 + 2.2) = 2.164 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = R_th·C = 1.803·100 = 180.3 ms

คำตอบ

τ = 180.3 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 11.24 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 10 µF = 22 ms

v_C(t) = 9 + (2 − 9)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

4.8 = 9 + (−7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4.8 − 9)/(2 − 9) = 0.6

t = τ·ln((2 − 9)/(4.8 − 9)) = 22·ln(1.667) = 11.24 ms

คำตอบ

t = 11.24 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: I = 600 mA

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf จากการเคลื่อนที่

ε = BLv = 0.2·0.5·3 = 0.3 V

กระแส

I = ε/R = 0.3/0.5 = 0.6 A

คำตอบ

I = 600 mA

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: E_rms = 16.66 V

อัตราเร็วเชิงมุมและพื้นที่

ω = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

A = 0.03 m²

emf สูงสุด

E₀ = NBAω = 500·0.05·0.03·31.42 = 23.56 V

ค่า rms

E_rms = 23.56/√2 = 16.66 V

คำตอบ

E_rms = 16.66 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 23 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·200·0.15 = 188.5 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 100/80 = 1.25 A

I_X = V/X_L = 100/188.5 = 0.5305 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.25² + 0.5305²) = 1.358 A

มุมเฟส

กระแสตัวเหนี่ยวนำตามหลัง V ดังนั้นกระแสรวมตามหลังและมุมเป็นบวก

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0.5305/1.25) = 23°

คำตอบ

φ = 23°

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 41.09 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.15·100·10⁻⁶)) = 41.09 Hz

คำตอบ

f₀ = 41.09 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism