ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
++2 µC−−8 µC++2 µC24 cm + 16 cm

ประจุจุดสามประจุอยู่บนเส้นตรง: +2 µC ทางซ้าย +2 µC ทางขวาห่างออกไป 40 cm และ −8 µC อยู่ระหว่างกลางห่างจากประจุซ้าย 24 cm จงหาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อประจุตรงกลาง Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +2 µCqR = +2 µCqM = −8 µCrL = 24 cmrR = 16 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
6 cm5 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +8 µC

ประจุจุดบวกสามประจุอยู่ที่มุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก: q₃ = 5 µC อยู่ที่มุมฉาก q₁ = 10 µC อยู่ห่างจากมันไป 6 cm ตามด้านหนึ่ง และ q₂ = 8 µC อยู่ห่างจากมันไป 5 cm ตามอีกด้านหนึ่ง หาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อ q₃

q1 = 10 µCq2 = 8 µCq3 = 5 µCr13 = 6 cmr23 = 5 cm
F = N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩIR2​AR4​10 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 30 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 ΩR4 = 30 ΩR5 = 12 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
R = 22 Ωt = 0L220 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 2.5 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R หากระแส i ที่ t = 20 ms

i(0) = 2.5 AR = 22 ΩL = 220 mHt = 20 ms
i = A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​20 Vt = 0R = 4.7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 6 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 750 ms

Vs = 20 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 6 Vt = 750 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
8 A15 Ad = 10 cmP

เส้นลวดขนานยาวสองเส้นห่างกัน 10 cm มีกระแส 8 A และ 15 A ในทิศทางตรงข้ามกัน จงหาขนาดของความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B ที่จุด P ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่างเส้นลวดทั้งสอง

I1 = 8 AI2 = 15 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
V = 10000 VB = 0.3 Tr = ?

โปรตอน เริ่มจากหยุดนิ่ง ถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ 10000 V แล้วเข้าสู่สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.3 T เป็นมุมฉาก จงหารัศมี r ของเส้นทางในสนาม

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.3 T
r = cm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
50 V50 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 50 Hz หากระแส rms I

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
230 V500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF+−VC​

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 500 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF
VC = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 3.122 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงจากแต่ละประจุ

ขวาเป็นบวก

FL = −k·2·8 × 10⁻¹²/0.24² = −2.497 N
FR = +k·2·8 × 10⁻¹²/0.16² = 5.619 N

แรงลัพธ์

F = −2.497 + (5.619) = 3.122 N → |F| = 3.122 N

คำตอบ

F = 3.122 N

แรงลัพธ์ชี้ไปทางขวา

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 190.5 N

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

แรงแต่ละแรงที่กระทำต่อ q₃

F1 = k·10·5 × 10⁻¹²/0.06² = 124.9 N
F2 = k·8·5 × 10⁻¹²/0.05² = 143.8 N

ผลรวมเวกเตอร์

F = √(124.9² + 143.8²) = 190.5 N

คำตอบ

F = 190.5 N
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.4455 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​10 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 8 + 10 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω
Req = R1 + 6.429 = 8 + 6.429 = 14.43 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 10/14.43 = 0.6931 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0.6931·8 = 4.455 V
IR2 = VA/R2 = 4.455/10 = 0.4455 A

คำตอบ

IR2 = 0.4455 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: Req = 37.3 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 30 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAR4​30 ΩBR6​8 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 12 + 8 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 12 Ω
R3 + 12 = 27 Ω
R2 ∥ 27 = 7.297 Ω
Req = R1 + 7.297 = 30 + 7.297 = 37.3 Ω

คำตอบ

Req = 37.3 Ω
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.3383 A

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 2.5·e−20/10 = 0.3383 A

คำตอบ

i = 0.3383 A
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: vC = 13.22 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 20 + (6 − 20)·e−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

vC(750) = 20 + (−14)·e−750/1034 = 13.22 V

คำตอบ

vC = 13.22 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: B = 92 µT

สนามแม่เหล็กของกระแส: รอบเส้นลวดตรงยาว เส้นสนามเป็นวงกลม (กฎมือขวา) โดย B = μ₀I/(2πr) ที่จุดศูนย์กลางของขดลวดวงกลมแบนที่มี N รอบ B = μ₀NI/(2R) ภายในโซลินอยด์ยาว สนามสม่ำเสมอ B = μ₀nI โดย n = N/L รอบต่อเมตร ไม่ว่ารัศมีจะเป็นเท่าใด μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A ใช้หน่วย SI (เมตรและแอมแปร์) และรวมสนามจากหลายแหล่งแบบเวกเตอร์

สนามของเส้นลวดแต่ละเส้นที่ P

B1 = 2 × 10⁻⁷·8/0.05 = 32 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·15/0.05 = 60 µT

รวมกัน

B = B₁ + B₂ = 92 µT

คำตอบ

B = 92 µT
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: r = 4.817 cm

แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)

อัตราเร็วหลังการเร่ง

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·10000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 1.384 × 10⁶ m/s

รัศมีในสนาม

r = mv/(|q|B) = 0.04817 m = 4.817 cm

คำตอบ

r = 4.817 cm

รวมกัน: r = √(2mV/|q|)/B ดังนั้นไอออนที่หนักกว่าที่มีประจุเท่ากันเคลื่อนที่ในวงกลมที่ใหญ่กว่า วิธีนี้ใช้แยกไอโซโทป

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: I = 1.273 A

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.1 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−36.31)²) = 39.29 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 50/39.29 = 1.273 A

คำตอบ

I = 1.273 A
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: VC = 3.279 V

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (464.5)²) = 475.1 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 230/475.1 = 0.4841 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

VC = I·XC = 0.4841·6.773 = 3.279 V

คำตอบ

VC = 3.279 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism