กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุจุดสามประจุอยู่บนเส้นตรง: +4 µC ทางซ้าย +1 µC ทางขวาห่างออกไป 30 cm และ +6 µC อยู่ระหว่างกลางห่างจากประจุซ้าย 15 cm จงหาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อประจุตรงกลาง Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +4 µCqR = +1 µCqM = +6 µCrL = 15 cmrR = 15 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ลูกบอลเล็กที่เหมือนกันสองลูก มวลลูกละ 3 g แขวนจากจุดเดียวกันด้วยเส้นด้ายฉนวนยาว 30 cm ให้ประจุเท่ากันแล้วแต่ละเส้นด้ายอยู่นิ่งที่ 5° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาประจุ q บนลูกบอลแต่ละลูกใน nC Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 30 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 18 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หากระแส IR2 ผ่าน R2
V1 = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 ΩR4 = 4 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงจรหลังสวิตช์ปิด
Vs = 9 VR1 = 4.7 kΩR2 = 6.8 kΩC = 47 µF
τ = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 12 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน vC คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 200 ms
Vs = 5 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 12 Vt = 200 ms
vC = V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
แท่งโลหะยาว 20 cm เลื่อนด้วย 4 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 0.5 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ รางเชื่อมกันด้วยตัวต้านทาน 1 Ω; แท่งและรางมีความต้านทานน้อยมากจนไม่ต้องคิด จงหาแรง F ที่ต้องใช้เพื่อให้แท่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ (ไม่มีแรงเสียดทาน)
B = 0.5 TL = 20 cmv = 4 m/sR = 1 Ω
F = mN
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ขดลวด 100 รอบ ขนาด 20 cm × 5 cm หมุนในสนามสม่ำเสมอ 0.05 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม ต้องหมุนด้วยอัตราเร็ว n (รอบต่อนาที) เท่าใดจึงให้ emf rms เท่ากับ 4.443 V
N = 100A = 20 cm × 5 cmB = 0.05 TErms = 4.443 V
n = rpm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 230 V (rms) 60 Hz จงหากำลังจริง P ที่ดึงจากแหล่งจ่าย
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF
P = W
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 200 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f0 ของวงจร
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 2.2 µF
f0 = Hz
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: F = 7.192 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
แรงจากแต่ละประจุ
ขวาเป็นบวก
FL = +k·4·6 × 10⁻¹²/0.15² = 9.589 N
FR = −k·1·6 × 10⁻¹²/0.15² = −2.397 N
แรงลัพธ์
F = 9.589 + (−2.397) = 7.192 N → |F| = 7.192 N
คำตอบ
F = 7.192 N
แรงลัพธ์ชี้ไปทางขวา
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: q = 27.99 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
แรงไฟฟ้าจากสมดุล
องค์ประกอบในแนวนอนของแรงตึงสมดุลกับ F องค์ประกอบในแนวดิ่งสมดุลกับ m·g
F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 5° = 0.002575 N
ระยะห่าง
r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 5° = 0.05229 m
ประจุ
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.05229·√(0.002575/8.99 × 10⁹) = 2.799 × 10⁻⁸ C = 27.99 nC
คำตอบ
q = 27.99 nC
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 3.042 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2.917 Ω
Req = R1 + 2.917 = 3 + 2.917 = 5.917 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 18/5.917 = 3.042 A
คำตอบ
IR1 = 3.042 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR2 = 0.1768 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 3.59 Ω
R3 + 3.59 = 33.59 Ω
R2 ∥ 33.59 = 8.841 Ω
Req = R1 + 8.841 = 12 + 8.841 = 20.84 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 5/20.84 = 0.2399 A
กระแสผ่าน R₂
ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0.2399·12 = 2.121 V
IR2 = VA/R2 = 2.121/12 = 0.1768 A
คำตอบ
IR2 = 0.1768 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: τ = 130.6 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น
ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา Rth เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่
Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·6.8/(4.7 + 6.8) = 2.779 kΩ
vC(∞) = 9·6.8/(4.7 + 6.8) = 5.322 V
ค่าคงตัวเวลา
τ = Rth·C = 2.779·47 = 130.6 ms
คำตอบ
τ = 130.6 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: vC = 8.818 V
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 5 + (12 − 5)·e−t/τ
แรงดันที่เวลาที่กำหนด
vC(200) = 5 + (7)·e−200/330 = 8.818 V
คำตอบ
vC = 8.818 V
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: F = 40 mN
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
emf จากการเคลื่อนที่
ε = BLv = 0.5·0.2·4 = 0.4 V
กระแส
I = ε/R = 0.4/1 = 0.4 A
แรงต้านการเคลื่อนที่
กฎของเลนซ์: แรงที่กระทำต่อกระแสเหนี่ยวนำต้านการเคลื่อนที่
F = BIL = 0.5·0.4·0.2 = 0.04 N
คำตอบ
F = 40 mN
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: n = 1200 rpm
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
emf สูงสุด
E₀ = √2·Erms = 6.283 V
อัตราเร็วเชิงมุม
ω = E₀/(NBA) = 6.283/(100·0.05·0.01) = 125.7 rad/s
รอบต่อนาที
n = 60·125.7/(2π) = 1200 rpm
คำตอบ
n = 1200 rpm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: P = 412.3 W
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
XL = 56.55 Ω, XC = 120.6 Ω
อิมพีแดนซ์
|Z| = √(60² + (−64.02)²) = 87.74 Ω
กำลังจริง
ตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุเพียงสะสมแล้วคืนพลังงาน ตัวต้านทานดูดกำลังจริงทั้งหมด
I = 230/87.74 = 2.621 A
P = I²·R = 2.621²·60 = 412.3 W
คำตอบ
P = 412.3 W
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: f0 = 214.6 Hz
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
เรโซแนนซ์
ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·2.2·10⁻⁶)) = 214.6 Hz
คำตอบ
f0 = 214.6 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism