กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
- กฎของคูลอมบ์
- F = k·|q1q2|/r²
- สนามของประจุจุด
- E = k·|q|/r²
- ค่าคงที่
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- แรงบนประจุ
- F = q·E
ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
- ตัวต้านทานอนุกรม
- Req = R1 + R2 + …
- ตัวต้านทานขนาน
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- สองตัวขนานกัน
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- กฎของโอห์ม
- V = I·R
- กำลัง
- P = V·I = I²R = V²/R
วิธีการ
- เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
- รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
- ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว
ทรานเซียนต์ RC และ RL
- ค่าคงตัวเวลา
- τ = RC | τ = L/R
- การตอบสนอง
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
- ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
- ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
- นิ่งแล้ว
- t ≈ 5τ
วิธีการ
- หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
- หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
- หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
- ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
- เส้นลวดตรงยาว
- B = μ0I/(2πr)
- จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
- B = μ0NI/(2R)
- โซลินอยด์ยาว
- B = μ0nI, n = N/L
- ค่าคงที่
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
- F = BIL·sin θ
- แรงบนประจุ
- F = |q|vB·sin θ
- การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- เส้นลวดขนาน
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- ฟลักซ์
- Φ = BA·cos θ
- กฎของฟาราเดย์
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- แท่งที่เคลื่อนที่
- ε = BLv
- เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- ความเหนี่ยวนำ
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- ความเหนี่ยวนำร่วม
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
วิธีการ
- แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
- เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
- สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
- หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ
อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
- อิมพีแดนซ์
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- ความถี่เชิงมุม
- ω = 2πf
- ขนาดและมุม
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
- V = I·Z
วิธีการ
- แปลงความถี่: ω = 2πf
- หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
- บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
- หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์
2โจทย์ฝึก
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
ประจุ +3 µC และประจุ −8 µC อยู่ห่างกัน 40 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 10 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P
q1 = +3 µCq2 = −8 µCr1 = 10 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
ประจุ +10 µC และ −10 µC อยู่ห่างกัน 16 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 6 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +10 µCq2 = −10 µCd = 16 cmh = 6 cm
E = N/C
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
หาความต้านทานสมมูล Req ที่แหล่งจ่าย V1 มองเห็น
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1
V1 = 12 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 ΩR5 = 8 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หลังจากสวิตช์ปิดนานเท่าใดกระแสจึงถึง 75% ของค่าสุดท้าย หา t
Vs = 15 VR = 15 ΩL = 47 mH
t = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 4 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ vC ถึง 8 V หา t
Vs = 9 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
แท่งโลหะยาว 80 cm เลื่อนด้วย 5 m/s ตามรางสองเส้นในสนามสม่ำเสมอ 1 T พุ่งเข้าหน้ากระดาษ จงหา emf เหนี่ยวนำ ε ระหว่างปลายทั้งสองของมัน
B = 1 TL = 80 cmv = 5 m/s
ε = V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
ดิวเทอรอน เริ่มจากหยุดนิ่ง ถูกเร่งผ่านความต่างศักย์ 2000 V แล้วเข้าสู่สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ 0.8 T เป็นมุมฉาก จงหารัศมี r ของเส้นทางในสนาม
m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0.8 T
r = cm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 200 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 10 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 10 V (rms) 200 Hz หาแรงดัน rms VC คร่อมตัวเก็บประจุ
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
VC = V
3สารละลาย
1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 3.496 × 10⁶ N/C
กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์
สนามของแต่ละประจุ
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.1² = 2.697 × 10⁶ N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0.3² = 799111 N/C
ทิศทางและผลรวม
สนามแรกชี้ออกจากประจุบวกและสนามที่สองชี้เข้าหาประจุลบ: ทั้งสองชี้ไปทางเดียวกัน
E = |2.697 × 10⁶ + 799111| = 3.496 × 10⁶ N/C
คำตอบ
E = 3.496 × 10⁶ N/C
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า
คำตอบ: E = 1.438 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง
r = √(8² + 6²) = 10 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0.1² = 8.99 × 10⁶ N/C
องค์ประกอบ
องค์ประกอบตามเส้นแบ่งครึ่งหักล้างกัน
E = 2·E1·(a/r) = 2·8.99 × 10⁶·0.8 = 1.438 × 10⁷ N/C
คำตอบ
E = 1.438 × 10⁷ N/C
สนามชี้ขนานกับเส้นจากประจุบวกไปยังประจุลบ
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: Req = 5.4 Ω
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R3 + R4 = 2 + 10 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω
Req = R1 + 2.4 = 3 + 2.4 = 5.4 Ω
คำตอบ
Req = 5.4 Ω
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน
คำตอบ: IR1 = 0.4609 A
ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว
รวมตัวต้านทานจากปลายสุด
เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน
R5 + R6 = 8 + 8 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 6.154 Ω
R3 + 6.154 = 12.15 Ω
R2 ∥ 12.15 = 6.038 Ω
Req = R1 + 6.038 = 20 + 6.038 = 26.04 Ω
กระแสจากแหล่งจ่าย
แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁
IR1 = V1/Req = 12/26.04 = 0.4609 A
คำตอบ
IR1 = 0.4609 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 4.344 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย
เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว
τ = L/R = 47 mH / 15 Ω = 3.133 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A
แก้สมการหาเวลา
0.75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)
t = −3.133·ln(0.25) = 4.344 ms
คำตอบ
t = 4.344 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL
คำตอบ: t = 354.1 ms
ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว
ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย
vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms
vC(t) = 9 + (4 − 9)·e−t/τ
แก้สมการหาเวลา
8 = 9 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (8 − 9)/(4 − 9) = 0.2
t = τ·ln((4 − 9)/(8 − 9)) = 220·ln(5) = 354.1 ms
คำตอบ
t = 354.1 ms
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: ε = 4 V
การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)
emf จากการเคลื่อนที่
ε = BLv = 1·0.8·5 = 4 V
คำตอบ
ε = 4 V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ
คำตอบ: r = 1.142 cm
แรงแม่เหล็ก: เส้นลวดตรงที่มีกระแส I ในสนาม B ได้รับแรง F = BIL·sin θ และประจุที่เคลื่อนที่ได้รับแรง F = |q|vB·sin θ โดย θ คือมุมระหว่างกระแส (หรือความเร็ว) กับ B แรงตั้งฉากกับทั้งสอง: ชี้นิ้วมือขวาตาม I หรือ v โค้งนิ้วไปทาง B แล้วนิ้วหัวแม่มือบอก F สำหรับประจุบวก สำหรับประจุลบให้กลับทิศ เนื่องจาก F ตั้งฉากกับ v ประจุที่เคลื่อนที่ตัดสนามสม่ำเสมอจึงเคลื่อนที่เป็นวงกลม: |q|vB = mv²/r ให้ r = mv/(|q|B) และคาบ T = 2πm/(|q|B) ซึ่งไม่ขึ้นกับอัตราเร็ว เส้นลวดขนานสองเส้นดึงดูดกันเมื่อกระแสไหลทางเดียวกัน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
อัตราเร็วหลังการเร่ง
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2000/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 437752 m/s
รัศมีในสนาม
r = mv/(|q|B) = 0.01142 m = 1.142 cm
คำตอบ
r = 1.142 cm
รวมกัน: r = √(2mV/|q|)/B ดังนั้นไอออนที่หนักกว่าที่มีประจุเท่ากันเคลื่อนที่ในวงกลมที่ใหญ่กว่า วิธีนี้ใช้แยกไอโซโทป
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: φ = 77.76 °
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (46.09)²) = 47.16 Ω
มุมเฟส
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(46.09/10) = 77.76°
คำตอบ
φ = 77.76°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์
คำตอบ: VC = 26.53 V
วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|
รีแอกแตนซ์
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω
อิมพีแดนซ์
ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−110.4)²) = 136.3 Ω
กระแส
กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม
I = V/|Z| = 10/136.3 = 0.07335 A
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ
VC = I·XC = 0.07335·361.7 = 26.53 V
คำตอบ
VC = 26.53 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism