ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์
F = k·|q1q2|/r²
สนามของประจุจุด
E = k·|q|/r²
ค่าคงที่
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ
F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม
Req = R1 + R2 + …
ตัวต้านทานขนาน
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
สองตัวขนานกัน
Req = R1R2 / (R1 + R2)
กฎของโอห์ม
V = I·R
กำลัง
P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

  1. เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
  2. รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
  4. ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา
τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง
วงจรเปิด vC กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง
ลัดวงจร iL กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว
t ≈ 5τ

วิธีการ

  1. หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
  2. หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
  3. หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
  4. ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว
B = μ0I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน
B = μ0NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว
B = μ0nI, n = N/L
ค่าคงที่
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด
F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ
F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน
F/L = μ0I1I2/(2πd)
ฟลักซ์
Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์
ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่
ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
ความเหนี่ยวนำ
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

  1. แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
  2. เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
  3. สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
  4. หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม
ω = 2πf
ขนาดและมุม
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์
V = I·Z

วิธีการ

  1. แปลงความถี่: ω = 2πf
  2. หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: XL = ωL และ XC = 1/(ωC)
  3. บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
  4. หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง
−−3 µC++5 µCr = 10 cm

ทรงกลมโลหะเล็กที่เหมือนกันสองลูกมีประจุ −3 µC และ +5 µC นำมาแตะกันแล้ววางกลับห่างกัน 10 cm จงหาขนาดของแรง F ระหว่างทั้งสองในตอนนี้ Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −3 µCq2 = +5 µCr = 10 cm
F = N
2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก
+ + + + + +− − − − − −e⁻4.5 × 10⁷ m/s6 cmE = 2900 N/C

อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 4.5 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 6 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 2900 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm

v₀ = 4.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2900 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩIR2​AR4​3 ΩB

หากระแส IR2 ผ่าน R2

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก
R1​ = 25 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

หากระแส IR1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R1

V1 = 15 VR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง
R = 22 Ωt = 0L220 mHi(t)

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 3 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R ใช้เวลานานเท่าใด t กระแสจึงลดลงเหลือ 0.3 A

i(0) = 3 AR = 22 ΩL = 220 mH
t = ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก
+−Vs​15 Vเปิดที่ t = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 1 kΩi2​C47 µF+−vC​

สวิตช์ปิดมานานแล้ว วงจรจึงอยู่ในสถานะคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแส i2 ผ่าน R2 ที่ t = 100 ms

Vs = 15 VR1 = 1 kΩR2 = 1 kΩC = 47 µFt = 100 ms
i2 = mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง
nBA = 100 cm², N = 100B: 0.1 → 0.3 T

ขดลวด 100 รอบมีพื้นที่ 100 cm² สนามสม่ำเสมอที่ตั้งฉากกับขดลวดเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจาก 0.1 T เป็น 0.3 T ใน 40 ms จงหา emf เหนี่ยวนำเฉลี่ย ε

N = 100A = 100 cm²B: 0.1 T → 0.3 TΔt = 40 ms
ε = V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก
Bn = ?8 cm × 5 cmN = 200B = 0.3 T

ขดลวด 200 รอบ ขนาด 8 cm × 5 cm หมุนในสนามสม่ำเสมอ 0.3 T รอบแกนที่ตั้งฉากกับสนาม ต้องหมุนด้วยอัตราเร็ว n (รอบต่อนาที) เท่าใดจึงให้ emf rms เท่ากับ 21.33 V

N = 200A = 8 cm × 5 cmB = 0.3 TErms = 21.33 V
n = rpm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง
120 V500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 500 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก
VfR = 20 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF

วงจร RLC อนุกรมมี R = 20 Ω, L = 5 mH และ C = 0.22 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q ที่เรโซแนนซ์

R = 20 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF
Q =

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 0.899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ประจุหลังแตะกัน

q′ = (−3 + 5)/2 = 1 µC

แรงใหม่

F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.1² = 0.899 N

คำตอบ

F = 0.899 N

ทรงกลมทั้งสองมีประจุชนิดเดียวกันแล้ว จึงผลักกัน

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: y = 0.4534 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

เวลาระหว่างแผ่น

t = L/v₀ = 0.06/4.5 × 10⁷ = 1.333 × 10⁻⁹ s

ความเร่งด้านข้าง

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2900/9.109 × 10⁻³¹ = 5.1 × 10¹⁴ m/s²

ระยะแอ่น

y = ½·a·t² = ½·5.1 × 10¹⁴·(1.333 × 10⁻⁹)² = 0.0004534 m = 0.4534 mm

คำตอบ

y = 0.4534 mm

อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR2 = 0.5159 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R3 + R4 = 6 + 3 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3.214 Ω
Req = R1 + 3.214 = 8 + 3.214 = 11.21 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 9/11.21 = 0.8025 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.8025·8 = 2.58 V
IR2 = VA/R2 = 2.58/5 = 0.5159 A

คำตอบ

IR2 = 0.5159 A
4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: IR1 = 0.4181 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​15 VR2​30 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 7.059 Ω
R3 + 7.059 = 17.06 Ω
R2 ∥ 17.06 = 10.87 Ω
Req = R1 + 10.87 = 25 + 10.87 = 35.88 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง Req ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

IR1 = V1/Req = 15/35.88 = 0.4181 A

คำตอบ

IR1 = 0.4181 A
5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 23.03 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

แก้สมการหาเวลา

0.3 = 3·e−t/τ → t = τ·ln(3/0.3)
t = 10·ln(10) = 23.03 ms

คำตอบ

t = 23.03 ms
6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i2 = 0.8934 mA

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

แรงดันเริ่มต้นของตัวเก็บประจุ

ในสถานะคงตัวตัวเก็บประจุเป็นวงจรเปิด ดังนั้น R₁ และ R₂ เป็นวงจรแบ่งแรงดัน แรงดันตัวเก็บประจุกระโดดไม่ได้เมื่อสวิตช์เปิด

vC(0) = 15·1/(1 + 1) = 7.5 V

ค่าคงที่เวลาหลังสวิตช์เปิด

τ = R2·C = 1·47 = 47 ms

การคายประจุ

vC(t) = 7.5·e−100/47 = 0.8934 V
i2 = vC/R2 = 0.8934/1 = 0.8934 mA

คำตอบ

i2 = 0.8934 mA
7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 5 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = (0.3 − 0.1)·0.01 = 0.002 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 100·0.002/0.04 = 5 V

คำตอบ

ε = 5 V
8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: n = 1200 rpm

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

emf สูงสุด

E₀ = √2·Erms = 30.17 V

อัตราเร็วเชิงมุม

ω = E₀/(NBA) = 30.17/(200·0.3·0.004) = 125.7 rad/s

รอบต่อนาที

n = 60·125.7/(2π) = 1200 rpm

คำตอบ

n = 1200 rpm
9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 61.98 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(XL − XC)

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (150.3)²) = 170.3 Ω

มุมเฟส

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(150.3/80) = 61.98°

คำตอบ

φ = 61.98°
10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: Q = 7.538

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

ความถี่เรโซแนนซ์

f0 = 1/(2π·√(0.005·0.22·10⁻⁶)) = 4799 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

Q เปรียบเทียบรีแอกแตนซ์ที่เรโซแนนซ์กับความต้านทาน: Q = ω₀L/R

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.005/(0.22·10⁻⁶)) = 7.538

คำตอบ

Q = 7.538

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism