ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุ +6 µC และประจุ +2 µC อยู่ห่างกัน 20 cm จุด P อยู่บนเส้นตรงระหว่างประจุทั้งสอง ห่างจากประจุแรก 10 cm หาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P

q₁ = +6 µCq₂ = +2 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

ประจุ +6 µC และ −6 µC อยู่ห่างกัน 20 cm จุด P อยู่ห่างจากจุดกึ่งกลางระหว่างประจุ 5 cm บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก จงหาขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ P Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 20 cmh = 5 cm

E = N/C

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 2 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R ใช้เวลานานเท่าใด t กระแสจึงลดลงเหลือ 0.5 A

i(0) = 2 AR = 47 ΩL = 22 mH

t = ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 18 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 14.8 V หา t

V_s = 10 VR = 4.7 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ขดลวด 500 รอบมีพื้นที่ 25 cm² พลิกขดลวดกลับด้าน (หมุน 180°) ในสนามสม่ำเสมอ 0.3 T ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของขดลวด ใน 500 ms จงหา emf เหนี่ยวนำเฉลี่ย ε

N = 500A = 25 cm²B = 0.3 TΔt = 500 ms

ε = V

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

ขดลวดสั้น 100 รอบพันแน่นรอบกึ่งกลางของโซลินอยด์ยาว 800 รอบ ความยาว 40 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 cm จงหาความเหนี่ยวนำร่วม M ของทั้งสอง

N₁ = 800N₂ = 100l = 40 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี C = 0.47 µF ต้องเรโซแนนซ์ที่ 2000 Hz จงหาความเหนี่ยวนำ L ที่ต้องการ

f₀ = 2000 HzC = 0.47 µF

L = mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 12 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 12 V (rms)R = 10 ΩL = 200 mHC = 1 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 3.596 × 10⁶ N/C

กฎของคูลอมบ์: ประจุจุดสองประจุดึงดูดหรือผลักกันด้วย F = k·|q₁·q₂|/r² โดย k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C² สนามของประจุจุดคือ E = k·|q|/r² ชี้ออกจากประจุบวกและเข้าหาประจุลบ แรงและสนามจากประจุหลายตัวบวกกันแบบเวกเตอร์

สนามของแต่ละประจุ

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.1² = 5.394 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.1² = 1.798 × 10⁶ N/C

ทิศทางและผลรวม

ประจุทั้งสองเป็นบวก: ที่ P สนามของทั้งสองชี้ออกจากประจุแต่ละตัว จึงอยู่ในทิศตรงข้ามกัน

E = |5.394 × 10⁶ − 1.798 × 10⁶| = 3.596 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 3.596 × 10⁶ N/C

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: E = 7.719 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

ระยะทางและสนามของประจุหนึ่ง

r = √(10² + 5²) = 11.18 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.1118² = 4.315 × 10⁶ N/C

องค์ประกอบ

องค์ประกอบตามเส้นแบ่งครึ่งหักล้างกัน

E = 2·E₁·(a/r) = 2·4.315 × 10⁶·0.8944 = 7.719 × 10⁶ N/C

คำตอบ

E = 7.719 × 10⁶ N/C

สนามชี้ขนานกับเส้นจากประจุบวกไปยังประจุลบ

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.7119 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω

R_eq = R₁ + 6.429 = 2 + 6.429 = 8.429 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 6/8.429 = 0.7119 A

คำตอบ

I_R1 = 0.7119 A

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 0.2545 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 12.31 Ω

R₃ + 12.31 = 14.31 Ω

R₂ ∥ 14.31 = 9.688 Ω

R_eq = R₁ + 9.688 = 3 + 9.688 = 12.69 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12.69 = 0.7882 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.7882·3 = 7.635 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.635/30 = 0.2545 A

คำตอบ

I_R2 = 0.2545 A

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 0.6489 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

แก้สมการหาเวลา

0.5 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0.5)

t = 0.4681·ln(4) = 0.6489 ms

คำตอบ

t = 0.6489 ms

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 163.3 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 68 µF = 319.6 ms

v_C(t) = 10 + (18 − 10)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

14.8 = 10 + (8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14.8 − 10)/(18 − 10) = 0.6

t = τ·ln((18 − 10)/(14.8 − 10)) = 319.6·ln(1.667) = 163.3 ms

คำตอบ

t = 163.3 ms

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: ε = 1.5 V

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = 2·0.3·0.0025 = 0.0015 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0015/0.5 = 1.5 V

คำตอบ

ε = 1.5 V

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: M = 315.8 µH

ความเหนี่ยวนำร่วม

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·100·0.001257/0.4 = 315.8 µH

คำตอบ

M = 315.8 µH

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: L = 13.47 mH

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·0.47·10⁻⁶) = 13.47 mH

คำตอบ

L = 13.47 mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 536.7 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 12/10 = 1.2 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 2236·0.2 = 447.2 Ω

V_L = I·X_L = 1.2·447.2 = 536.7 V

คำตอบ

V_L = 536.7 V

นี่คือ Q = 44.72 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism