ฟิสิกส์ 2: ไฟฟ้าและแม่เหล็ก: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์: F = k·|q₁q₂|/r²
สนามของประจุจุด: E = k·|q|/r²
ค่าคงที่: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
แรงบนประจุ: F = q·E

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เส้นลวดตรงยาว: B = μ₀I/(2πr)
จุดศูนย์กลางของขดลวดแบน: B = μ₀NI/(2R)
โซลินอยด์ยาว: B = μ₀nI, n = N/L
ค่าคงที่: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
แรงที่กระทำต่อเส้นลวด: F = BIL·sin θ
แรงบนประจุ: F = |q|vB·sin θ
การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
เส้นลวดขนาน: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
ฟลักซ์: Φ = BA·cos θ
กฎของฟาราเดย์: ε = −N·ΔΦ/Δt
แท่งที่เคลื่อนที่: ε = BLv
เครื่องกำเนิดไฟฟ้า: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
ความเหนี่ยวนำ: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
ความเหนี่ยวนำร่วม: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
ตัวเลือกความเร็วและแมสสเปกโตรมิเตอร์: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

วิธีการ

แปลงทุกปริมาณเป็นหน่วย SI: cm เป็น m, cm² เป็น m², mT และ µT เป็น T
เลือกสูตรให้ถูก: B = μ₀I/(2πr) สำหรับเส้นลวด, μ₀NI/(2R) สำหรับจุดศูนย์กลางของขดลวด, μ₀nI ภายในโซลินอยด์; F = BIL·sin θ หรือ |q|vB·sin θ สำหรับแรง
สำหรับการเหนี่ยวนำ ให้หาการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ ΔΦ = Δ(BA·cos θ) และใช้ ε = N·ΔΦ/Δt หรือ ε = BLv สำหรับแท่งที่เคลื่อนที่ และ NBAω สำหรับขดลวดที่หมุน
หาทิศทางแยกกันด้วยกฎมือขวา และกฎของเลนซ์สำหรับกระแสเหนี่ยวนำ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

2โจทย์ฝึก

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าปานกลาง

ประจุจุดสามประจุอยู่บนเส้นตรง: −5 µC ทางซ้าย +5 µC ทางขวาห่างออกไป 20 cm และ +4 µC อยู่ระหว่างกลางห่างจากประจุซ้าย 12 cm จงหาขนาดของแรงไฟฟ้าลัพธ์ F ที่กระทำต่อประจุตรงกลาง Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −5 µCq_R = +5 µCq_M = +4 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้ายาก

อิเล็กตรอนเข้าสู่สนามสม่ำเสมอระหว่างแผ่นขนานสองแผ่นโดยเคลื่อนที่ขนานกับแผ่นด้วย 1 × 10⁷ m/s แผ่นยาว 5 cm และสนามระหว่างแผ่นคือ 2300 N/C ประจุอิเล็กตรอน 1.602 × 10⁻¹⁹ C มวล 9.109 × 10⁻³¹ kg ไม่คิดแรงโน้มถ่วง มันเบนไปด้านข้างไกลเท่าใด y เมื่อออกจากแผ่น ตอบเป็น mm

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 2300 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำมีกระแสคงที่ 2 A ที่ t = 0 สวิตช์ปิดวงจรผ่าน R และแหล่งกำเนิดถูกถอดออก กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงลดลงผ่าน R จงหาแรงดัน v_R ตกคร่อม R ที่ t = 5 ms

i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_R = V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

สวิตช์คร่อม R₂ ปิดมานานแล้ว กระแสตัวเหนี่ยวนำจึงคงตัว ที่ t = 0 สวิตช์เปิด จงหากระแสตัวเหนี่ยวนำ i ที่ t = 5 ms

V_s = 20 VR₁ = 20 ΩR₂ = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำปานกลาง

ขดลวด 500 รอบ พื้นที่ 150 cm² และความต้านทาน 10 Ω ต่อเป็นวงจรปิด สนามสม่ำเสมอที่ตั้งฉากกับขดลวดเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอจาก 0.1 T เป็น 0.5 T ใน 100 ms จงหากระแสเหนี่ยวนำเฉลี่ย I

N = 500A = 150 cm²B: 0.1 T → 0.5 TΔt = 100 msR = 10 Ω

I = A

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำยาก

โซลินอยด์ยาวแกนอากาศมี 400 รอบ ความยาว 25 cm และเส้นผ่านศูนย์กลาง 2.5 cm จงหาความเหนี่ยวนำในตัวเอง L

N = 400l = 25 cm⌀ = 2.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมที่มี C = 1 µF ต้องเรโซแนนซ์ที่ 50 Hz จงหาความเหนี่ยวนำ L ที่ต้องการ

f₀ = 50 HzC = 1 µF

L = mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมถูกขับด้วยแหล่งกำเนิด 2 V (rms) ซึ่งตั้งความถี่ไว้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร จงหาแรงดัน rms V_L ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

V = 2 V (rms)R = 2 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

V_L = V

3สารละลาย

1.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: F = 40.58 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

แรงจากแต่ละประจุ

ขวาเป็นบวก

F_L = −k·5·4 × 10⁻¹²/0.12² = −12.49 N

F_R = −k·5·4 × 10⁻¹²/0.08² = −28.09 N

แรงลัพธ์

F = −12.49 + (−28.09) = −40.58 N → |F| = 40.58 N

คำตอบ

F = 40.58 N

แรงลัพธ์ชี้ไปทางซ้าย

2.กฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้า

คำตอบ: y = 5.056 mm

เวลาระหว่างแผ่น

t = L/v₀ = 0.05/1 × 10⁷ = 5 × 10⁻⁹ s

ความเร่งด้านข้าง

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2300/9.109 × 10⁻³¹ = 4.045 × 10¹⁴ m/s²

ระยะแอ่น

y = ½·a·t² = ½·4.045 × 10¹⁴·(5 × 10⁻⁹)² = 0.005056 m = 5.056 mm

คำตอบ

y = 5.056 mm

อิเล็กตรอนถูกผลักไปทางแผ่นบวก ตรงข้ามกับทิศทางของสนาม

3.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 21.3 Ω

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 10·17/(10+17) = 6.296 Ω

R_eq = R₁ + 6.296 = 15 + 6.296 = 21.3 Ω

คำตอบ

R_eq = 21.3 Ω

4.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 37.44 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 8 + 12 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4 Ω

R₃ + 4 = 29 Ω

R₂ ∥ 29 = 7.436 Ω

R_eq = R₁ + 7.436 = 30 + 7.436 = 37.44 Ω

คำตอบ

R_eq = 37.44 Ω

5.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_R = 18.2 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลา

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

การลดลงของกระแส

i(t) = 2·e^−5/10 = 1.213 A

v_R = R·i = 15·1.213 = 18.2 V

คำตอบ

v_R = 18.2 V

6.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: i = 0.3737 A

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

ก่อน t = 0 สวิตช์ที่ปิดอยู่ข้าม R₂ หลังจากนั้น R₁ และ R₂ อยู่ในวงจรทั้งคู่

i(0) = 20/20 = 1 A

i(∞) = 20/(20 + 47) = 0.2985 A

τ = L/R = 150/67 = 2.239 ms

i(t) = 0.2985 + (1 − 0.2985)·e^−t/τ

กระแสที่เวลาที่กำหนด

i(5) = 0.2985 + (0.7015)·e^−5/2.239 = 0.3737 A

คำตอบ

i = 0.3737 A

7.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: I = 3 A

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า: ฟลักซ์ผ่านลูปคือ Φ = BA·cos θ โดย θ คือมุมระหว่าง B กับเส้นแนวฉากของลูป กฎของฟาราเดย์: การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์เหนี่ยวนำ emf = −N·dΦ/dt ในขดลวด N รอบ และกฎของเลนซ์บอกว่ากระแสเหนี่ยวนำไหลในทิศที่สนามของมันเองต้านการเปลี่ยนแปลง แท่งที่เคลื่อนที่ตัดสนามให้ emf = BLv ขดลวดที่หมุนด้วย ω ให้ e = NBAω·sin ωt ค่าสูงสุด NBAω ความเหนี่ยวนำในตัวเอง: emf = −L·di/dt โดย L = μ₀N²A/l สำหรับโซลินอยด์ยาว และพลังงานที่สะสมคือ W = ½LI² ขดลวดควบคู่สองขด: emf₂ = −M·di₁/dt โดย M = k√(L₁L₂)

การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ต่อรอบ

ΔΦ = (0.5 − 0.1)·0.015 = 0.006 Wb

emf เฉลี่ย

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.006/0.1 = 30 V

กระแส

I = ε/R = 30/10 = 3 A

คำตอบ

I = 3 A

8.สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

คำตอบ: L = 394.8 µH

หน้าตัด

A = π·(0.0125)² = 0.0004909 m²

ความเหนี่ยวนำในตัวเอง

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0.0004909/0.25 = 0.0003948 H = 394.8 µH

คำตอบ

L = 394.8 µH

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: L = 10132 mH

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

เงื่อนไขเรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เชิงเหนี่ยวนำและเชิงความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC)

ω₀ = 2π·50 = 314.2 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(314.2²·1·10⁻⁶) = 10132 mH

คำตอบ

L = 10132 mH

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_L = 65.23 V

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์หักล้างกัน อิมพีแดนซ์จึงเท่ากับ R เท่านั้น

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·4.7·10⁻⁶) = 3262 rad/s

I = V/R = 2/2 = 1 A

แรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

X_L = ω₀L = 3262·0.02 = 65.23 Ω

V_L = I·X_L = 1·65.23 = 65.23 V

คำตอบ

V_L = 65.23 V

นี่คือ Q = 32.62 เท่าของแรงดันแหล่งจ่าย

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism