ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 45 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4.5 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

ลูกบอล A ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 30 m ขณะเดียวกันลูกบอล B ถูกขว้างขึ้นตรง ๆ จากพื้นด้านล่างโดยตรงด้วย 19 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลพบกันที่ความสูง y เหนือพื้นเท่าใด

H = 30 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 4 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 20° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 6.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 1 kg โต๊ะไร้แรงเสียดทาน ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของระบบ

m₁ = 6.5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 40 m/s ที่มุม 40° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 64 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 40 m/sθ = 40°x = 64 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 25° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 25 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาระยะทางในแนวนอน x ที่ลูกบอลเคลื่อนที่ก่อนกระทบพื้น

v₀ = 10 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 3 m

θ = 25°μ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุ 5 kg วางบนโต๊ะแนวนอนขรุขระ (μ = 0.15) เชือกเบาพาดจากก้อนวัตถุนั้นผ่านรอกเรียบที่ขอบโต๊ะไปยังก้อนวัตถุ 5 kg ที่แขวนอยู่ ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุทั้งสองหลังก้อนที่แขวนตกลงมา 0.5 m

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.15d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 1 kg เคลื่อนที่ด้วย 12 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 1 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.5 kg กระทบผนังด้วย 24 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 4 m/s การสัมผัสใช้เวลา 50 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.5 kgv_in = 24 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 300 kPa และความเร็วคือ 2.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 300 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

สายยางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 40 mm ใช้ไซฟอนน้ำจากถังเปิด จุดสูงสุด C ของสายยางอยู่สูงกว่าผิวน้ำ 0.5 m และปลายทางออก (เปิดสู่อากาศ) อยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 4 m ไม่คิดการสูญเสียและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราการไหล Q

d = 40 mmz_C = +0.5 mz₂ = −4 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

190 g ของN₂มีปริมาตร V เท่าใดที่ 100 kPa และ 50 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 190 gM = 28.01 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของCO₂ที่ 850 kPa และ 70 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 44.01 g/molP = 850 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

ตู้เย็นผันกลับได้รักษาห้องเย็นที่ 0 °C โดยดึงความร้อน 5.5 kW ออก และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 28 °C จงหาอัตรา Q̇_H ที่มันปล่อยความร้อน

T_L = 0 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 5.5 kW

Q̇_H = kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนคาร์โนต์รับความร้อน 60 kW จากแหล่งที่ 850 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 27 °C งานทั้งหมดของมันขับตู้เย็นคาร์โนต์ที่ดึงความร้อนจากช่องแช่แข็งที่ -15 °C และปล่อยความร้อนสู่สิ่งแวดล้อมที่ 27 °C เช่นกัน จงหาอัตรา Q̇_L ที่ความร้อนถูกดึงออกจากช่องแช่แข็ง

T_H = 850 °CT₀ = 27 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 60 kW

Q̇_L = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แสงเคลื่อนที่ในแก้วฟลินต์ (n = 1.62) เข้าหารอยต่อแบนกับอะคริลิก (n = 1.49) จงหามุมวิกฤต θ_c ซึ่งเกินกว่านั้นแสงจะสะท้อนกลับหมด

n₁ = 1.62n₂ = 1.49

θ_c = °

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

เซนเซอร์ที่อยู่นิ่งส่งคลื่นอัลตราซาวด์ 25 kHz ไปยังรถที่เคลื่อนที่เข้าหาด้วย 10 m/s และผสมเสียงสะท้อนกับสัญญาณที่ส่งออก จงหาความถี่บีต f_b (อัตราเร็วเสียง 343 m/s)

f = 25 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 17.36 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

คำตอบ

s = 17.36 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: y = 17.77 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

เวลาที่พบกัน

ทิศขึ้นเป็นบวก พื้นคือ y = 0

30 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 30/19 = 1.579 s

ความสูงที่พบกัน

y = 19·1.579 − ½·9.81·1.579² = 17.77 m

คำตอบ

y = 17.77 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.512 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

คำตอบ

a = 1.512 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 1.308 m/s²

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9.81 − 0)/7.5 = 1.308 m/s²

คำตอบ

a = 1.308 m/s²

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 32.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 40·cos 40° = 30.64 m/s

t = x/v_x = 64/30.64 = 2.089 s

ความสูงขณะนั้น

y = 25.71·2.089 − ½·9.81·2.089² = 32.3 m

คำตอบ

y = 32.3 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: x = 24.73 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 25° = 9.063 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 25° = 4.226 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 25 + 4.226·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.226 + √(17.86 + 490.5))/9.81 = 2.729 s

ระยะทางในแนวนอน

x = v_x·t = 9.063·2.729 = 24.73 m

คำตอบ

x = 24.73 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 3.769 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·3·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 3.769 m/s

คำตอบ

v = 3.769 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 2.042 m/s

พลังงานที่ปลดปล่อยและที่สูญเสีย

m₂g·d = 49.05·0.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.15·49.05·0.5 = 3.679 J

พลังงานจลน์ของก้อนวัตถุทั้งสอง

½(m₁ + m₂)v² = 20.85 → v = √(2·20.85/10) = 2.042 m/s

คำตอบ

v = 2.042 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = −2.4 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (1 − 1.5)/(1 + 1.5)·12 = −2.4 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 1.5)·12 = 9.6 m/s

คำตอบ

v′₁ = −2.4 m/s

เครื่องหมายลบหมายความว่าเลื่อนตัวแรกกระดอนกลับ

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 280 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.5·(4 + 24) = 14 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 14/0.05 = 280 N

คำตอบ

F_avg = 280 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 110.4 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

คำตอบ

F = 110.4 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 5.636 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5.5·6 = 284.9 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.5 + 4.5/(5.5·6) = 5.636 m

คำตอบ

y_cp = 5.636 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 253.1 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 300 + (−46.88) = 253.1 kPa

คำตอบ

p₂ = 253.1 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 11.13 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วในสายยาง

ผิวน้ำและทางออกเปิดสู่อากาศทั้งคู่ พจน์ความดันจึงหักล้างกัน

v = √(2g·4) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

อัตราการไหล

Q = A·v = 0.001257·8.859 = 0.01113 m³/s = 11.13 L/s

คำตอบ

Q = 11.13 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 182.2 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 190/28.01 = 6.783 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 6.783·8.314·323.1/100 = 182.2 L

คำตอบ

V = 182.2 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 13.11 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 850·44.01/(8.314·343.1) = 13.11 kg/m³

คำตอบ

ρ = 13.11 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_H = 6.064 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5.5·301.1/273.1 = 6.064 kW

คำตอบ

Q̇_H = 6.064 kW

กำลังที่ป้อนเข้า: Ẇ = 0.5638 kW

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Q̇_L = 270.2 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

งานของเครื่องยนต์

η = 1 − 300.1/1123 = 0.7328

Ẇ = 0.7328·60 = 43.97 kW

ความร้อนที่ตู้เย็นดึงออก

COP_R = 258.1/(300.1 − 258.1) = 6.146

Q̇_L = 6.146·43.97 = 270.2 kW

คำตอบ

Q̇_L = 270.2 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: θ_c = 66.89 °

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

การหักเหที่ 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.62 = 0.9198

มุมวิกฤต

θc = arcsin(0.9198) = 66.89°

คำตอบ

θ_c = 66.89°

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f_b = 1502 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความถี่ที่รถ

f′ = 25000·(343 + 10)/343 = 25729 Hz

ความถี่ของเสียงสะท้อน

f″ = f′·343/(343 − 10) = 26502 Hz

ความถี่บีต

f_b = |f″ − f| = 1502 Hz

คำตอบ

f_b = 1502 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers