ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินต้องใช้อัตราเร็ว 260 km/h เพื่อบินขึ้น และทางวิ่งที่ใช้ได้ยาว 1800 m เริ่มจากหยุดนิ่ง ต้องใช้ความเร่งคงที่ a เท่าใด

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 2.5 m/s² เป็นเวลา 10 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 30 s และสุดท้ายเบรกด้วย 5 m/s² จนหยุด จงหาเวลาเดินทางรวม t

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 30 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 10 kg และ 2.5 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความเร่ง a ของมวลทั้งสอง

m₁ = 10 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุหนัก 5.5 kg บนทางลาด 35° เชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานที่ยอดทางลาดกับมวล 9.5 kg ที่แขวนอยู่ มวลที่แขวนเคลื่อนที่ลง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับทางลาดคือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 5.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 35° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 14 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 11 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 50 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 800 N/m วางลูกบอล 0.15 kg บนสปริงและกดสปริงลง 4 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.15 kgk = 800 N/mx = 4 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 1 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 5000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 4 kgh = 4.5 mL = 1 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

กระสุนปืนมวล 11 kg เคลื่อนที่ในแนวนอนด้วย 28 m/s ระเบิดเป็นสองเศษที่เคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงเดียวกัน เศษมวล 5 kg เคลื่อนที่ต่อไปข้างหน้าด้วย 51 m/s จงหาความเร็ว v′₂ ของเศษมวล 6 kg (ทิศทางเดิมเป็นบวก)

M = 11 kgu = 28 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 51 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ที่ทางแยก รถมวล 2000 kg ที่แล่นไปทางตะวันออกด้วย 25 m/s ชนกับรถมวล 1500 kg ที่แล่นไปทางเหนือด้วย 17 m/s รถทั้งสองคันติดกัน จงหาอัตราเร็ว v′ ของซากรถทันทีหลังการชน

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1.5 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำระบายจากถังเปิดขนาดใหญ่ผ่านช่องขอบคมเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ระดับน้ำอยู่สูงกว่าช่อง 5.5 m คงที่ และสัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.64 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²

d = 30 mmh = 5.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 6 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 360 kPa และความเร็วคือ 2.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 360 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

360 g ของCO₂มีปริมาตร V เท่าใดที่ 750 kPa และ 0 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 360 gM = 44.01 g/molP = 750 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

N₂ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 200 kPa, 5 L, 35 °C ไปเป็น 750 kPa และ 110 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 800 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 675 °C และปล่อย 277 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 675 °CQ_H = 800 kJQ_L = 277 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 17.5 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 45 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ -5 °C COP จริงของมันคือ 55% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้

T_H = 45 °CT_L = -5 °Cη_II = 55%Q̇_H = 17.5 kW

Ẇ = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้าง ยาว 0.6 m คลื่นเคลื่อนที่บนนั้นด้วย 200 m/s จงหาความถี่ f₄ ของฮาร์มอนิกที่ 4

v = 200 m/sn = 4L = 0.6 m

f₄ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 480 nm ตกบนสลิตสองช่องที่ห่างกัน 0.5 mm ฉากอยู่ห่าง 2.5 m จงหาระยะห่าง Δy ระหว่างแถบสว่างที่อยู่ติดกัน

λ = 480 nmd = 0.5 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: a = 1.449 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

ความเร่ง

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1800) = 1.449 m/s²

คำตอบ

a = 1.449 m/s²

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 45 s

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 2.5·10 = 25 m/s

เวลาเบรก

t₃ = v/a₃ = 25/5 = 5 s

เวลารวม

t = 10 + 30 + 5 = 45 s

คำตอบ

t = 45 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 5.886 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (10 − 2.5)·9.81/(10 + 2.5) = 5.886 m/s²

คำตอบ

a = 5.886 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 57.97 N

แรงตามแนวเชือก

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 30.95 N

μ·m₁·g·cos θ = 6.63 N

ความเร่งของระบบ

a = (93.2 − 30.95 − 6.63)/15 = 3.708 m/s²

แรงตึงจากมวลที่แขวน

m₂·g − T = m₂·a → T = 9.5·(9.81 − 3.708) = 57.97 N

คำตอบ

T = 57.97 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 3.287 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 35° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 35° = 8.03 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 8.03²/(2·9.81) = 3.287 m

คำตอบ

H = 3.287 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 50.72 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 11·sin 20° = 3.762 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 3.762²/(2·9.81) = 0.7214 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 50 + 0.7214 = 50.72 m

คำตอบ

H = 50.72 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 0.4349 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 4 cm = 0.04 m

½kx² = ½·800·0.04² = 0.64 J

ความสูง

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/1.472 = 0.4349 m

คำตอบ

h = 0.4349 m

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 26.13 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 39.24·(4.5 − 0.15·1) = 170.7 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 170.7 → x = √(2·170.7/5000) = 0.2613 m = 26.13 cm

คำตอบ

x = 26.13 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 8.833 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

โมเมนตัมก่อนชน

p = M·u = 11·28 = 308 kg·m/s

โมเมนตัมหลังชน

308 = 5·51 + 6·v′₂

v′₂ = (308 − 255)/6 = 8.833 m/s

คำตอบ

v′₂ = 8.833 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′ = 16.04 m/s

องค์ประกอบของโมเมนตัม

p_x = 2000·25 = 50000 kg·m/s

p_y = 1500·17 = 25500 kg·m/s

อัตราเร็วของซากรถ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 56127/3500 = 16.04 m/s

คำตอบ

v′ = 16.04 m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 39.24 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

คำตอบ

F = 39.24 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.633 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·4 = 86.33 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 1.333/(2.5·4) = 2.633 m

คำตอบ

y_cp = 2.633 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 4.699 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความเร็วลำน้ำอุดมคติ

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

อัตราการไหลจริง

สัมประสิทธิ์การไหลออกคิดรวมการหดตัวของลำน้ำและแรงเสียดทานที่ขอบ

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0007069·10.39 = 0.004699 m³/s = 4.699 L/s

คำตอบ

Q = 4.699 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 204.8 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 14.06²)/1000 = −96.35 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−96.35) − 58.86 = 204.8 kPa

คำตอบ

p₂ = 204.8 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 24.77 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 360/44.01 = 8.18 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 8.18·8.314·273.1/750 = 24.77 L

คำตอบ

V = 24.77 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 1.658 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 308.1 K, T₂ = 383.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/750)·(383.1/308.1) = 1.658 L

คำตอบ

V₂ = 1.658 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 55.15 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 948.1·277/800 = 328.3 K = 55.15 °C

คำตอบ

T_L = 55.15 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ = 5.001 kW

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

COP คาร์โนต์และ COP จริง

COP_max = 318.1/(318.1 − 268.1) = 6.363

COP = 0.55·6.363 = 3.5

กำลังที่ป้อนเข้า

Ẇ = Q̇_H/COP = 17.5/3.5 = 5.001 kW

คำตอบ

Ẇ = 5.001 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f₄ = 666.7 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความยาวคลื่นของโหมดนี้

λ = 2L/n = 2·0.6/4 = 0.3 m

ความถี่

f = v/λ = 200/0.3 = 666.7 Hz

คำตอบ

f₄ = 666.7 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: Δy = 2.4 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างแถบ

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2.5/(0.5 × 10⁻³) = 2.4 mm

คำตอบ

Δy = 2.4 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers