ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

คนขับที่ขับด้วย 50 km/h เห็นสิ่งกีดขวาง เวลาตอบสนองของเธอคือ 1.2 s หลังจากนั้นรถเบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4.5 m/s² จงหาระยะหยุดทั้งหมด d นับจากขณะที่เธอเห็นสิ่งกีดขวาง

v₀ = 50 km/ht_r = 1.2 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.จลนศาสตร์ยาก

รถรางเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งด้วย 2.5 m/s² เป็นเวลา 10 s จากนั้นวิ่งด้วยอัตราเร็วคงที่ 13 s และสุดท้ายเบรกด้วย 3 m/s² จนหยุด จงหาเวลาเดินทางรวม t

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 13 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.กฎของนิวตันปานกลาง

ก้อนวัตถุมวล 19 kg เลื่อนลงตามพื้นเอียงที่ทำมุม 30° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาความเร่ง a ของก้อนวัตถุตามแนวพื้นเอียง

m = 19 kgθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุสองก้อนบนพื้นราบเชื่อมด้วยเชือกเบาในแนวนอน แรงในแนวนอน 95 N ดึงก้อนหน้าที่หนัก 4 kg ก้อนที่หนัก 1 kg ถูกลากตามหลัง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 สำหรับทั้งสองก้อน ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตึง T ในเชือกที่เชื่อม

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgF = 95 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

เตะลูกบอลจากพื้นราบด้วย 36 m/s ที่มุม 65° เหนือแนวนอนไปทางกำแพงที่ห่าง 20 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลผ่านกำแพงที่ความสูงเท่าใด y

v₀ = 36 m/sθ = 65°x = 20 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 35° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 55 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 28 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 25° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.2 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 11 m

θ = 25°μ = 0.2d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 0.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 5 m (μ = 0.25) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

รถมวล 1700 kg เคลื่อนที่ด้วย 8 m/s ชนรถมวล 1100 kg ที่จอดอยู่ และทั้งสองคันติดกัน พลังงานจลน์เดิมสูญเสียไปกี่เปอร์เซ็นต์ ΔK/K

m₁ = 1700 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 5 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 2.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 25° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 5 gM = 2.5 kgL = 1 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 310 kPa และความเร็วคือ 1.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 25 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 10 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 240 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 240 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

310 g ของCH₄มีปริมาตร V เท่าใดที่ 300 kPa และ 100 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

m = 310 gM = 16.04 g/molP = 300 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

Arปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 150 kPa, 10 L, 10 °C ไปเป็น 250 kPa และ 180 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 10 °CP₂ = 250 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 4800 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 750 °C และปล่อย 1328 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 750 °CQ_H = 4800 kJQ_L = 1328 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อน 1900 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 450 °C ให้งาน 684 kJ และปล่อยส่วนที่เหลือสู่แหล่งความร้อนที่ 20 °C ต่อวัฏจักร จงหาเอนโทรปีทั้งหมดที่เกิดขึ้น S_gen ต่อวัฏจักร

T_H = 450 °CT_L = 20 °CQ_H = 1900 kJW = 684 kJ

S_gen = kJ/K

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้าง ยาว 1.2 m คลื่นเคลื่อนที่บนนั้นด้วย 120 m/s จงหาความถี่ f₁ ของความถี่มูลฐาน (ฮาร์มอนิกที่หนึ่ง)

v = 120 m/sn = 1L = 1.2 m

f₁ = Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 550 nm ตกบนสลิตสองช่องที่ห่างกัน 0.4 mm ฉากอยู่ห่าง 1.5 m จงหาระยะ y₄ จากแถบสว่างกลางถึงแถบสว่างลำดับที่ 4

λ = 550 nmd = 0.4 mmL = 1.5 mm = 4

y₄ = mm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 38.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

หน่วย

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

ระยะตอบสนอง

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.2 = 16.67 m

ระยะเบรก

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4.5) = 21.43 m

รวม

d = 16.67 + 21.43 = 38.1 m

คำตอบ

d = 38.1 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 31.33 s

อัตราเร็วสูงสุด

v = a₁·t₁ = 2.5·10 = 25 m/s

เวลาเบรก

t₃ = v/a₃ = 25/3 = 8.333 s

เวลารวม

t = 10 + 13 + 8.333 = 31.33 s

คำตอบ

t = 31.33 s

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: a = 2.781 m/s²

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

แรงตามแนวพื้นเอียง

ทิศลงตามพื้นเอียงเป็นบวก

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

ความเร่ง

a = 9.81·(sin 30° − 0.25·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2165) = 2.781 m/s²

คำตอบ

a = 2.781 m/s²

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 19 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ระบบทั้งหมด

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 4.905)/5 = 18.02 m/s²

ก้อนหลังเพียงก้อนเดียว

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(18.02 + 0.981) = 19 N

คำตอบ

T = 19 N

เมื่อ μ เท่ากันทั้งสองก้อน แรงเสียดทานหักล้างกัน: T = F·m₁/(m₁ + m₂)

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: y = 34.41 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

เวลาที่ถึงกำแพง

v_x = 36·cos 65° = 15.21 m/s

t = x/v_x = 20/15.21 = 1.315 s

ความสูงขณะนั้น

y = 32.63·1.315 − ½·9.81·1.315² = 34.41 m

คำตอบ

y = 34.41 m

ลูกบอลยังกำลังขึ้นอยู่ที่กำแพง

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 5.364 s

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 35° = 22.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 35° = 16.06 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 55 + 16.06·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.06 + √(257.9 + 1079))/9.81 = 5.364 s

คำตอบ

t = 5.364 s

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 7.217 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 7.217 m/s

คำตอบ

v = 7.217 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: x = 12.63 cm

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.25·5) = 15.94 J

การหดตัวสูงสุด

½kx² = 15.94 → x = √(2·15.94/2000) = 0.1263 m = 12.63 cm

คำตอบ

x = 12.63 cm

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: ΔK/K = 39.29 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความเร็วร่วม

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·8/2800 = 4.857 m/s

พลังงานจลน์ก่อนและหลัง

K_before = ½·1700·8² = 54400 J

K_after = ½·2800·4.857² = 33029 J

สัดส่วนที่สูญเสีย

ΔK/K = 21371/54400 = 39.29 %

คำตอบ

ΔK/K = 39.29 %

พลังงานที่สูญเสียไปกลายเป็นการเปลี่ยนรูป ความร้อน และเสียง

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 679.3 m/s

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 25°) = 0.09369 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.09369) = 1.356 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 2.505·1.356/0.005 = 679.3 m/s

คำตอบ

v = 679.3 m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 193.1 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·3.75 = 193.1 kN

คำตอบ

F = 193.1 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 44.15 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·1.5 = 44.15 kN

คำตอบ

F = 44.15 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 293.1 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/50)² = 6 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 6²)/1000 = −16.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−16.88) = 293.1 kPa

คำตอบ

p₂ = 293.1 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 110 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/25)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 8²)/1000 = −31.88 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−31.88) − 98.1 = 110 kPa

คำตอบ

p₂ = 110 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V = 199.9 L

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = 310/16.04 = 19.33 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

ปริมาตร

V = nRT/P = 19.33·8.314·373.1/300 = 199.9 L

คำตอบ

V = 199.9 L

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 9.602 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 283.1 K, T₂ = 453.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/250)·(453.1/283.1) = 9.602 L

คำตอบ

V₂ = 9.602 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 9.922 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1023·1328/4800 = 283.1 K = 9.922 °C

คำตอบ

T_L = 9.922 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: S_gen = 1.521 kJ/K

การกำเนิดเอนโทรปี: ตลอดวัฏจักรสมบูรณ์ สารทำงานไม่มีการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีสุทธิ แหล่งความร้อนร้อนสูญเสีย Q_H/T_H และแหล่งความร้อนเย็นได้รับ Q_L/T_L ผลรวมของทั้งสองคือเอนโทรปีที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นศูนย์สำหรับวัฏจักรผันกลับได้และเป็นบวกสำหรับวัฏจักรจริงทุกวัฏจักร

ความร้อนที่ปล่อยทิ้ง

Q_L = Q_H − W = 1900 − 684 = 1216 kJ

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของแหล่งความร้อน

ΔS_H = −1900/723.1 = −2.627 kJ/K

ΔS_L = 1216/293.1 = 4.148 kJ/K

S_gen = 4.148 − 2.627 = 1.521 kJ/K

คำตอบ

S_gen = 1.521 kJ/K

S_gen > 0 ดังนั้นเครื่องยนต์นี้เป็นไปได้แต่ผันกลับไม่ได้

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: f₁ = 50 Hz

คลื่นนิ่งและปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: เส้นเชือกที่ตรึงปลายทั้งสองข้างหรือท่อที่เปิดปลายทั้งสองข้างมีความยาวพอดีกับจำนวนเต็มเท่าของครึ่งความยาวคลื่น: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … ท่อปลายปิดข้างหนึ่งมีบัพที่ปลายปิดและปฏิบัพที่ปลายเปิด: L = nλ/4 เฉพาะ n ที่เป็นเลขคี่ f_n = n·v/(4L) เมื่อแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงระหว่างกัน f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): ใช้เครื่องหมายบนสำหรับการเคลื่อนที่เข้าหากัน คลื่นสองคลื่นที่มีความถี่ใกล้เคียงกันเกิดบีตที่ |f₁ − f₂|

ความยาวคลื่นของโหมดนี้

λ = 2L/n = 2·1.2/1 = 2.4 m

ความถี่

f = v/λ = 120/2.4 = 50 Hz

คำตอบ

f₁ = 50 Hz

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: y₄ = 8.25 mm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ระยะห่างระหว่างแถบ

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1.5/(0.4 × 10⁻³) = 2.063 mm

แถบลำดับที่ 4

y₄ = 4·2.063 = 8.25 mm

คำตอบ

y₄ = 8.25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers