ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถคันหนึ่งขับเร็วด้วยอัตราเร็วคงที่ 17 m/s ผ่านรถตำรวจที่จอดนิ่ง ขณะนั้นรถตำรวจเริ่มออกตัวและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 2 m/s² รถตำรวจใช้เวลานานเท่าใดจึงจะตามทัน จงหา t

v_car = 17 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 5 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 5 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 35° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.15 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุถูกผลักให้เริ่มไถลขึ้นทางลาด 20° ด้วยอัตราเร็ว 9.5 m/s สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² ไถลไปตามทางลาดไกลเท่าใด d ก่อนหยุด

v₀ = 9.5 m/sθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 20° เหนือแนวนอน จากพื้นราบ ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาความสูงสูงสุด H ที่ลูกบอลขึ้นไปถึง

v₀ = 40 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

H = m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 35° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ก้อนวัตถุเลื่อนลงจากหยุดนิ่งตามพื้นเอียงที่ทำมุม 35° กับแนวนอน สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์คือ 0.1 หาอัตราเร็ว v หลังจากเลื่อนไปตามพื้นเอียง 11 m

θ = 35°μ = 0.1d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 2 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4.5 m (μ = 0.15) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 4 kgh = 2 mL = 4.5 mμ = 0.15k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 4 kg เคลื่อนที่ด้วย 12 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 1.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 4 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

ลูกบอลมวล 0.55 kg กระทบผนังด้วย 25 m/s และกระดอนกลับตรง ๆ ด้วย 10 m/s การสัมผัสใช้เวลา 40 ms หาแรงเฉลี่ย F_avg ที่ผนังกระทำต่อลูกบอล

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 10 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 250 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 125 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 55 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 55 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 75 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 1 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 330 kPa และความเร็วคือ 1.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 330 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 50 L บรรจุHeปริมาณ 200 g ที่ 35 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 200 gM = 4.003 g/molV = 50 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

CO₂ปริมาณคงที่เปลี่ยนจาก 400 kPa, 10 L, 35 °C ไปเป็น 500 kPa และ 90 °C หาปริมาตรใหม่ V₂

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 90 °C

V₂ = L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 200 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 25 °C เครื่องยนต์รับความร้อน 1800 kJ หางานมากที่สุด W_max ที่เครื่องยนต์อาจผลิตได้

T_H = 200 °CT_L = 25 °CQ_H = 1800 kJ

W_max = kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อน 1600 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 600 °C ให้งาน 720 kJ และปล่อยส่วนที่เหลือสู่แหล่งความร้อนที่ 35 °C ต่อวัฏจักร จงหาเอนโทรปีทั้งหมดที่เกิดขึ้น S_gen ต่อวัฏจักร

T_H = 600 °CT_L = 35 °CQ_H = 1600 kJW = 720 kJ

S_gen = kJ/K

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุสูง 5 cm อยู่หน้าเลนส์รวมแสงบาง 4 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 20 cm จงหาความสูงของภาพ h_i (เป็นลบสำหรับภาพหัวกลับ)

h_o = 5 cmd_o = 4 cmf = 20 cm

h_i = cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

แสงความยาวคลื่น 589 nm ผ่านสลิตเดี่ยวกว้าง 0.15 mm จงหามุม θ₃ ของแถบมืดลำดับที่ 3 จากทิศทางตรง

λ = 589 nma = 0.15 mmm = 3

θ₃ = °

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: t = 17 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ระยะทางเท่ากัน

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·17/2 = 17 s

คำตอบ

t = 17 s

ขณะนั้นรถตำรวจเคลื่อนที่ด้วย 2v = 34 m/s

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 107.7 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1715 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1715))/(2·4.905) = 4.686 s

ความลึก

d = ½·9.81·4.686² = 107.7 m

คำตอบ

d = 107.7 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 34.16 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 28.13 + 6.027 = 34.16 N

คำตอบ

F = 34.16 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: d = 7.372 m

ความหน่วง

แรงทั้งสองชี้ลงตามเนิน มวลหักล้างกัน

a = 9.81·(sin 20° + 0.3·cos 20°) = 6.121 m/s²

ระยะทาง

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·6.121) = 7.372 m

คำตอบ

d = 7.372 m

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 9.539 m

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = v_xt และ y = h + v_yt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน

แยกความเร็วต้น

ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 20° = 37.59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 20° = 13.68 m/s

จุดสูงสุด

ที่จุดสูงสุดความเร็วในแนวดิ่งเป็นศูนย์: v_y² = 2gH

H = v_y²/(2g) = 13.68²/(2·9.81) = 9.539 m

คำตอบ

H = 9.539 m

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: t = 4.251 s

แยกความเร็วต้น

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s

เวลาที่อยู่ในอากาศ

แก้ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก

0 = 35 + 12.62·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.62 + √(159.2 + 686.7))/9.81 = 4.251 s

คำตอบ

t = 4.251 s

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 10.3 m/s

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

ก้อนวัตถุลดระดับลง d·sin θ ขณะที่แรงเสียดทานดึงพลังงานออกไป μmg·cos θ·d มวลหักล้างกัน

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5736 − 0.1·0.8192)) = 10.3 m/s

คำตอบ

v = 10.3 m/s

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 5.099 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 39.24·(2 − 0.15·4.5) = 51.99 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.325) = 5.099 m/s

คำตอบ

v = 5.099 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 5.455 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (4 − 1.5)/(4 + 1.5)·12 = 5.455 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1.5)·12 = 17.45 m/s

คำตอบ

v′₁ = 5.455 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: F_avg = 481.3 N

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

J = m·Δv = 0.55·(10 + 25) = 19.25 N·s

แรงเฉลี่ย

F_avg = J/Δt = 19.25/0.04 = 481.3 N

คำตอบ

F_avg = 481.3 N

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 294.3 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

คำตอบ

F = 294.3 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 120.7 kN

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·4 = 120.7 kN

คำตอบ

F = 120.7 kN

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 132.9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความต่อเนื่อง

v₁ = v₂·(125/250)² = 0.25·v₂

เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด

ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·55000/(1000·(1 − 0.0625))) = 10.83 m/s

v₁ = 2.708 m/s

อัตราการไหล

Q = A₂·v₂ = 0.01227·10.83 = 0.1329 m³/s = 132.9 L/s

คำตอบ

Q = 132.9 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 311.3 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/40)² = 4.395 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 4.395²)/1000 = −8.875 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−8.875) − 9.81 = 311.3 kPa

คำตอบ

p₂ = 311.3 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 2560 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 200/4.003 = 49.96 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 49.96·8.314·308.1/0.05 = 2560 kPa

คำตอบ

P = 2560 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: V₂ = 9.428 L

กฎแก๊สรวม: สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T₁ = 308.1 K, T₂ = 363.1 K

กฎแก๊สรวม

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/500)·(363.1/308.1) = 9.428 L

คำตอบ

V₂ = 9.428 L

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: W_max = 665.8 kJ

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/473.1 = 36.99 %

งานสูงสุด

W_max = η_max·Q_H = 0.3699·1800 = 665.8 kJ

คำตอบ

W_max = 665.8 kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: S_gen = 1.023 kJ/K

การกำเนิดเอนโทรปี: ตลอดวัฏจักรสมบูรณ์ สารทำงานไม่มีการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีสุทธิ แหล่งความร้อนร้อนสูญเสีย Q_H/T_H และแหล่งความร้อนเย็นได้รับ Q_L/T_L ผลรวมของทั้งสองคือเอนโทรปีที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นศูนย์สำหรับวัฏจักรผันกลับได้และเป็นบวกสำหรับวัฏจักรจริงทุกวัฏจักร

ความร้อนที่ปล่อยทิ้ง

Q_L = Q_H − W = 1600 − 720 = 880 kJ

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของแหล่งความร้อน

ΔS_H = −1600/873.1 = −1.832 kJ/K

ΔS_L = 880/308.1 = 2.856 kJ/K

S_gen = 2.856 − 1.832 = 1.023 kJ/K

คำตอบ

S_gen = 1.023 kJ/K

S_gen > 0 ดังนั้นเครื่องยนต์นี้เป็นไปได้แต่ผันกลับไม่ได้

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: h_i = 6.25 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/4

d_i = −5 cm

กำลังขยายและความสูง

m = −(−5)/4 = 1.25

h_i = 1.25·5 = 6.25 cm

คำตอบ

h_i = 6.25 cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: θ₃ = 0.675 °

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

เงื่อนไขของแถบมืด

sin θ = mλ/a = 0.01178

θ = 0.675°

คำตอบ

θ₃ = 0.675°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers