ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

เครื่องบินเริ่มจากหยุดนิ่งและเร่งอย่างสม่ำเสมอด้วย 3.5 m/s² ตามทางวิ่ง จงหาอัตราเร็ว v หลังวิ่งไป 1600 m

v₀ = 0a = 3.5 m/s²s = 1600 m

v = m/s

2.จลนศาสตร์ยาก

ปล่อยหินจากหยุดนิ่งลงบ่อน้ำ ได้ยินเสียงน้ำกระเซ็น 3.2 s หลังปล่อยหิน อัตราเร็วเสียงคือ 343 m/s ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความลึก d ของบ่อ

t_total = 3.2 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

มวล 9 kg และ 3.5 kg แขวนสองข้างของรอกเบาไร้แรงเสียดทาน เชื่อมด้วยเชือกเบา ระบบถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 9 kgm₂ = 3.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 2.5 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 6 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.25 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 2.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 40° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 145 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 40°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 34 m/s ที่มุม 20° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 45 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด H เหนือพื้นที่เชิงหน้าผา

v₀ = 34 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.งานและพลังงานปานกลาง

เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 800 N/m วางลูกบอล 0.1 kg บนสปริงและกดสปริงลง 10 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด

m = 0.1 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.งานและพลังงานยาก

ก้อนวัตถุมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 2.5 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 4 m (μ = 0.1) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 2500 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาอัตราเร็ว v ของก้อนวัตถุเมื่อถึงสปริง

m = 1 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 2 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 3.5 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₂ ของเลื่อนตัวที่สองหลังการชน

m₁ = 3 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

รถมวล 2000 kg ชนรถที่จอดอยู่มวล 800 kg ซากรถติดกันและไถลไป 13 m ก่อนหยุด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.75 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v₁ ของรถคันแรกก่อนชน

m₁ = 2000 kgm₂ = 800 kgd = 13 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 1 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 50 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 390 kPa และความเร็วคือ 2.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ในช่วงแคบ

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 2.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 200 mm เป็น 75 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 4 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 180 kPa และความเร็วคือ 1 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p₂ ที่หน้าตัด 2

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 180 kPav₁ = 1 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 5 L บรรจุN₂ปริมาณ 30 g ที่ 70 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 30 gM = 28.01 g/molV = 5 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของCO₂ที่ 1000 kPa และ 0 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 44.01 g/molP = 1000 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 425 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 15 °C เครื่องยนต์รับความร้อน 4900 kJ หางานมากที่สุด W_max ที่เครื่องยนต์อาจผลิตได้

T_H = 425 °CT_L = 15 °CQ_H = 4900 kJ

W_max = kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 17.5 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 45 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ -5 °C COP จริงของมันคือ 50% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้

T_H = 45 °CT_L = -5 °Cη_II = 50%Q̇_H = 17.5 kW

Ẇ = kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

วัตถุอยู่หน้าเลนส์กระจายแสงบาง 50 cm ซึ่งมีความยาวโฟกัส 20 cm จงหาระยะภาพ d_i ใช้ข้อตกลงเครื่องหมาย 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน)

d_o = 50 cmf = −20 cm

d_i = cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

วัตถุอยู่หน้ากระจกนูน 15 cm ซึ่งมีรัศมีความโค้ง 10 cm จงหาระยะภาพ d_i เป็นบวกสำหรับภาพที่อยู่หน้ากระจก (ภาพจริง) และเป็นลบสำหรับภาพที่อยู่หลังกระจก (ภาพเสมือน)

d_o = 15 cmR = 10 cm

d_i = cm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: v = 105.8 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

อัตราเร็วหลังเคลื่อนที่ไปตามระยะทาง

v = √(2·a·s) = √(2·3.5·1600) = 105.8 m/s

คำตอบ

v = 105.8 m/s

(381 km/h)

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: d = 46.1 m

เวลาสองส่วน

½·9.81·t₁² = 343·(3.2 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

เวลาที่ตก

มีเพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้นที่เป็นไปได้ทางกายภาพ

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1098))/(2·4.905) = 3.066 s

ความลึก

d = ½·9.81·3.066² = 46.1 m

คำตอบ

d = 46.1 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 49.44 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ความเร่ง

แรงขับสุทธิคือผลต่างของน้ำหนัก ซึ่งทำให้มวลรวมเคลื่อนที่

a = (9 − 3.5)·9.81/(9 + 3.5) = 4.316 m/s²

แรงตึงจากมวลที่เบากว่า

T − m₂·g = m₂·a → T = 3.5·(9.81 + 4.316) = 49.44 N

คำตอบ

T = 49.44 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 21.64 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 6.131)/8.5 = 6.203 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·6.203 + 6.131 = 21.64 N

คำตอบ

T = 21.64 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 38.01 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 80°) = 38.01 m/s

คำตอบ

v₀ = 38.01 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: H = 51.89 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

อัตราเร็วต้นในแนวดิ่ง

v_y = 34·sin 20° = 11.63 m/s

ความสูงที่ขึ้นเหนือหน้าผา

Δh = v_y²/(2g) = 11.63²/(2·9.81) = 6.892 m

ความสูงเหนือพื้น

H = 45 + 6.892 = 51.89 m

คำตอบ

H = 51.89 m

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: h = 4.077 m

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)

พลังงานสปริง

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

ความสูง

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 4/0.981 = 4.077 m

คำตอบ

h = 4.077 m

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: v = 6.419 m/s

พลังงานที่เหลือหลังแถบขรุขระ

ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.1·4) = 20.6 J

อัตราเร็วที่สปริง

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.1) = 6.419 m/s

คำตอบ

v = 6.419 m/s

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₂ = 1.846 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 3.5)/(3 + 3.5)·2 = −0.1538 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3.5)·2 = 1.846 m/s

คำตอบ

v′₂ = 1.846 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v₁ = 19.36 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·13) = 13.83 m/s

โมเมนตัมในการชน

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·13.83/2000 = 19.36 m/s

คำตอบ

v₁ = 19.36 m/s

(69.71 km/h)

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 137.3 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

คำตอบ

F = 137.3 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 1.556 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.5·1 = 18.54 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0.08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.08333/(1.5·1) = 1.556 m

คำตอบ

y_cp = 1.556 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 352 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(100/50)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 9²)/1000 = −37.97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−37.97) = 352 kPa

คำตอบ

p₂ = 352 kPa

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: p₂ = 116 kPa

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7.111²)/1000 = −24.78 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−24.78) − 39.24 = 116 kPa

คำตอบ

p₂ = 116 kPa

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 611.1 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 30/28.01 = 1.071 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 1.071·8.314·343.1/0.005 = 611.1 kPa

คำตอบ

P = 611.1 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 19.38 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 1000·44.01/(8.314·273.1) = 19.38 kg/m³

คำตอบ

ρ = 19.38 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: W_max = 2878 kJ

ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ T_H และ T_L ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) และ COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: Q_H = W + Q_L

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

ประสิทธิภาพคาร์โนต์

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/698.1 = 58.73 %

งานสูงสุด

W_max = η_max·Q_H = 0.5873·4900 = 2878 kJ

คำตอบ

W_max = 2878 kJ

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: Ẇ = 5.501 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 45 + 273.15 = 318.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

COP คาร์โนต์และ COP จริง

COP_max = 318.1/(318.1 − 268.1) = 6.363

COP = 0.5·6.363 = 3.181

กำลังที่ป้อนเข้า

Ẇ = Q̇_H/COP = 17.5/3.181 = 5.501 kW

คำตอบ

Ẇ = 5.501 kW

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i = −14.29 cm

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

สมการเลนส์บาง

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/50

d_i = −14.29 cm

แผนภาพรังสี

ภาพเสมือน อยู่ด้านเดียวกับวัตถุ

คำตอบ

d_i = −14.29 cm

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: d_i = −3.75 cm

ความยาวโฟกัส

f = −R/2 = −5 cm

สมการกระจก

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/15

d_i = −3.75 cm

แผนภาพรังสี

ภาพเสมือนที่อยู่หลังกระจก

คำตอบ

d_i = −3.75 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers