ฟิสิกส์สำหรับวิศวกร: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 20 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

จลนศาสตร์

ความเร็ว: v = v₀ + a·t
การกระจัด: s = v₀·t + ½·a·t²
ไม่ใช้เวลา: v² = v₀² + 2·a·s
หน่วย: 1 m/s = 3.6 km/h

วิธีการ

เขียนสิ่งที่ทราบ: v₀, v, a, t และ s พร้อมหน่วย
เลือกสมการที่มีค่าที่ทราบสามค่าและค่าที่ไม่ทราบ
เลือกทิศบวกหนึ่งทิศและใส่เครื่องหมายลบให้ปริมาณที่ตรงข้ามกัน
แก้สมการและตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผลทางกายภาพ

กฎของนิวตัน

กฎข้อที่สอง: ΣF = m·a
น้ำหนัก: W = m·g
แรงเสียดทานจลน์: F_f = μ·N
บนพื้นเอียง: ตามแนวพื้นเอียง: m·g·sin θ, แนวฉาก: m·g·cos θ

วิธีการ

วาดแผนภาพวัตถุอิสระที่มีทุกแรงที่กระทำต่อวัตถุ
เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่
แยกแรงเป็นองค์ประกอบตามแนวและตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ (บนพื้นเอียง: m·g·sin θ ตามแนว, m·g·cos θ เข้าหาพื้นเอียง)
ใช้ ΣF = m·a ตามแนวการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานคือ μ·N ต้านการเคลื่อนที่

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

องค์ประกอบ: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
ตำแหน่ง: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
ความสูงสูงสุด: H = h + v_y²/(2g)
พิสัย (พื้นราบ): R = v₀²·sin 2θ/g

วิธีการ

แยกความเร็วต้นเป็นองค์ประกอบ: v_x = v₀·cos θ และ v_y = v₀·sin θ
การเคลื่อนที่ในแนวนอนมีอัตราเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่ง −g
หาเวลาเคลื่อนที่จากการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง
ใช้เวลานั้นในการเคลื่อนที่แนวนอนเพื่อหาพิสัย

งานและพลังงาน

พลังงานจลน์: E_k = ½mv²
พลังงานศักย์: E_p = mgh
สมดุลพลังงาน: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
งานของแรงเสียดทาน: W = μ·N·d
กำลัง: P = W/t

โมเมนตัมและการชน

โมเมนตัม: p = m·v
การอนุรักษ์: Σm·v (before) = Σm·v (after)
ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
อิมพัลส์: J = F·Δt = m·Δv

วิธีการ

เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายให้ความเร็วแต่ละค่า
เขียนโมเมนตัมรวมก่อนชน: Σm·v
สำหรับการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุเคลื่อนที่ไปด้วยกันหลังชน สำหรับการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย
ให้โมเมนตัมก่อนชนเท่ากับโมเมนตัมหลังชนแล้วแก้สมการ

แรงจากความดันของไหลนิ่ง

ความดันที่ความลึกหนึ่ง: p = ρgh
แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง: F = ρg·h_c·A
จุดศูนย์กลางความดัน: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
สี่เหลี่ยมผืนผ้า: I_c = bH³/12

ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

ความต่อเนื่อง: A₁v₁ = A₂v₂
เบอร์นูลลี: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
อัตราการไหล: Q = A·v
พื้นที่วงกลม: A = πd²/4

กฎแก๊สอุดมคติ

กฎแก๊สอุดมคติ: pV = nRT
ค่าคงที่แก๊ส: R = 8.314 J/(mol·K)
กฎแก๊สรวม: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
โมล: n = m/M
อุณหภูมิ: T[K] = T[°C] + 273.15

เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

ประสิทธิภาพ: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
ประสิทธิภาพคาร์โนต์: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP ของตู้เย็น: COP_R = Q_C/W
COP ของปั๊มความร้อน: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
สมดุลพลังงาน: Q_H = W + Q_C

คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

อัตราเร็วคลื่น: v = fλ, T = 1/f
เส้นเชือก: v = √(T/μ), μ = m/L
ระดับเสียง: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
แหล่งกำเนิดแบบจุด: I = P/(4πr²)
คลื่นนิ่ง: เส้นเชือกหรือท่อปลายเปิด f_n = n·v/(2L); ท่อปลายปิด f_n = n·v/(4L), n เป็นเลขคี่
ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
ดัชนีหักเห: n = c/v, λ = λ₀/n
กฎของสเนลล์: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
มุมวิกฤต: sin θ_c = n₂/n₁
เส้นใยนำแสง: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
เลนส์และกระจก: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
สลิตคู่: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
เกรตติง: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
สลิตเดี่ยว: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

วิธีการ

ระบุชนิดของโจทย์: อัตราเร็วคลื่น ระดับเสียง คลื่นนิ่ง ดอปเพลอร์ การหักเห เลนส์หรือกระจก หรือการแทรกสอด
เขียนความสัมพันธ์ก่อน: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) หรือ n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ
แปลงหน่วย: nm, mm และ cm เป็น m และตรวจว่ามุมวัดจากเส้นแนวฉากหรือไม่
ตรวจเครื่องหมายและความสมเหตุสมผล: ภาพเสมือนมี dᵢ < 0, แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนเข้าหาได้ยินเสียงสูงขึ้น, ท่อปลายปิดมีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่

2โจทย์ฝึก

1.จลนศาสตร์ปานกลาง

รถยนต์ที่วิ่งด้วยความเร็ว 50 km/h เบรกด้วยความหน่วงคงที่ 4 m/s² จนหยุด หาระยะเบรก s

v₀ = 50 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.จลนศาสตร์ยาก

จรวดจำลองถูกยิงขึ้นตรง ๆ จากหยุดนิ่ง เครื่องยนต์ให้ความเร่งขึ้นคงที่ 20 m/s² เป็นเวลา 1.5 s หลังจากนั้นเครื่องยนต์หยุดและจรวดเคลื่อนที่อย่างอิสระ ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาความสูงมากที่สุด h_max ที่จรวดขึ้นไปถึง

a = 20 m/s²t₁ = 1.5 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.กฎของนิวตันปานกลาง

กล่องหนัก 25 kg ถูกดันขึ้นทางลาดที่ทำมุม 35° กับแนวนอนด้วยอัตราเร็วคงที่ โดยแรงขนานกับทางลาด สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์คือ 0.1 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงดัน F

m = 25 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.กฎของนิวตันยาก

ก้อนวัตถุมวล 4 kg บนโต๊ะแนวนอนเชื่อมด้วยเชือกเบาผ่านรอกไร้แรงเสียดทานกับมวลที่ห้อยอยู่ 6 kg สัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับโต๊ะคือ 0.2 ใช้ g = 9.81 m/s² หาแรงตึง T ในเชือก

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ปานกลาง

ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 45° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 110 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v₀

θ = 45°R = 110 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ยาก

ยิงลูกบอลด้วย 35 m/s ที่มุม 15° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 40 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ที่ลูกบอลกระทบพื้น

v₀ = 35 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.งานและพลังงานปานกลาง

ลูกบอล 1 kg แขวนบนเชือกเบายาว 1.5 m ดึงไปด้านข้างจนเชือกทำมุม 90° กับแนวดิ่งแล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง จงหาแรงตึง T ในเชือกเมื่อลูกบอลผ่านจุดต่ำสุด

m = 1 kgL = 1.5 mθ = 90°g = 9.81 m/s²

T = N

8.งานและพลังงานยาก

สปริงที่มีค่าคงตัว 2000 N/m ที่ฐานของเนินลาด 20° ถูกกด 20 cm กับก้อนวัตถุ 2 kg แล้วปล่อย สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างก้อนวัตถุกับเนินคือ 0.25 ก้อนวัตถุเคลื่อนที่ขึ้นเนินจากจุดปล่อยไกลเท่าใด d ก่อนหยุด (ไม่ต้องคิดระยะสั้น ๆ ที่สปริงดัน คือให้คิดแรงเสียดทานและแรงโน้มถ่วงตลอดระยะ d)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.โมเมนตัมและการชนปานกลาง

เลื่อนบนรางมวล 3 kg เคลื่อนที่ด้วย 12 m/s ชนตรง ๆ แบบยืดหยุ่นสมบูรณ์กับเลื่อนมวล 2 kg ที่หยุดนิ่งอยู่บนรางไร้แรงเสียดทาน หาความเร็ว v′₁ ของเลื่อนตัวแรกหลังการชน (ทิศเดิมของมันเป็นบวก)

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.โมเมนตัมและการชนยาก

กระสุน 20 g ถูกยิงในแนวนอนเข้าไปในก้อนไม้หนัก 2.5 kg ที่แขวนด้วยเชือกเบายาว 1.2 m และฝังอยู่ในนั้น เชือกแกว่งออกไปทำมุมมากที่สุด 35° จากแนวดิ่ง ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็ว v ของกระสุนก่อนชน

m = 20 gM = 2.5 kgL = 1.2 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ

d = 2 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก

ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 2 m หาความลึก y_cp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง

น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 150 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 75 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 27 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 27 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก

เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 150 mm คอคอด 100 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 160 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.97 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmΔh = 160 mmC_d = 0.97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติปานกลาง

ถังขนาด 50 L บรรจุO₂ปริมาณ 490 g ที่ 75 °C ถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ แล้วหาความดัน P

m = 490 gM = 32 g/molV = 50 LT = 75 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติยาก

หาความหนาแน่น ρ ของCH₄ที่ 700 kPa และ 150 °C โดยถือว่าเป็นแก๊สอุดมคติ

M = 16.04 g/molP = 700 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นปานกลาง

เครื่องยนต์ความร้อนผันกลับได้ (คาร์โนต์) รับความร้อน 3100 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 700 °C และปล่อย 1013 kJ ต่อวัฏจักร จงหาอุณหภูมิ T_L ของแหล่งความร้อนเย็นในหน่วย °C

T_H = 700 °CQ_H = 3100 kJQ_L = 1013 kJ

T_L = °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็นยาก

เครื่องยนต์ความร้อนรับความร้อน 4800 kJ จากแหล่งความร้อนที่ 300 °C ให้งาน 1728 kJ และปล่อยส่วนที่เหลือสู่แหล่งความร้อนที่ 40 °C ต่อวัฏจักร จงหาเอนโทรปีทั้งหมดที่เกิดขึ้น S_gen ต่อวัฏจักร

T_H = 300 °CT_L = 40 °CQ_H = 4800 kJW = 1728 kJ

S_gen = kJ/K

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ปานกลาง

แสงเคลื่อนที่ในแก้วคราวน์ (n = 1.50) เข้าหารอยต่อแบนกับอะคริลิก (n = 1.49) จงหามุมวิกฤต θ_c ซึ่งเกินกว่านั้นแสงจะสะท้อนกลับหมด

n₁ = 1.50n₂ = 1.49

θ_c = °

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์ยาก

สลิตสองช่องห่างกัน 0.1 mm ถูกส่องด้วยแสงเอกรงค์ บนฉากที่ห่าง 3 m แถบสว่างลำดับที่ 2 อยู่ห่างจากแถบกลาง 27 mm จงหาความยาวคลื่น λ

d = 0.1 mmL = 3 my₂ = 27 mmm = 2

λ = nm

3สารละลาย

1.จลนศาสตร์

คำตอบ: s = 24.11 m

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² และ v² = v₀² + 2·a·s เลือกสมการที่มีปริมาณสามอย่างที่คุณทราบและหนึ่งอย่างที่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายให้สอดคล้องกับทิศทางบวกเพียงทิศเดียว

หน่วย

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

ระยะเบรก

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4) = 24.11 m

คำตอบ

s = 24.11 m

2.จลนศาสตร์

คำตอบ: h_max = 68.37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

ช่วงที่มีแรงขับ

v₁ = 20·1.5 = 30 m/s

h₁ = ½·20·1.5² = 22.5 m

บินอิสระขึ้น

ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์

Δh = v₁²/(2g) = 30²/(2·9.81) = 45.87 m

h_max = 22.5 + 45.87 = 68.37 m

คำตอบ

h_max = 68.37 m

3.กฎของนิวตัน

คำตอบ: F = 160.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

แรงตามแนวพื้นเอียง

อัตราเร็วคงที่: แรงสมดุลกัน

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

แรงดัน

F = 140.7 + 20.09 = 160.8 N

คำตอบ

F = 160.8 N

4.กฎของนิวตัน

คำตอบ: T = 28.25 N

กฎข้อที่สองของนิวตัน: แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับมวลคูณความเร่ง ΣF = m·a วาดแผนภาพวัตถุอิสระ เลือกทิศบวกตามแนวการเคลื่อนที่ แล้วบวกแรงทุกแรงในทิศนั้น ได้แก่ แรงที่กระทำ แรงเสียดทาน μ·N ที่ต้านการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของแรงโน้มถ่วง

ความเร่งของระบบ

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 7.848)/10 = 5.101 m/s²

แรงตึงจากก้อนวัตถุบนโต๊ะ

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·5.101 + 7.848 = 28.25 N

คำตอบ

T = 28.25 N

5.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v₀ = 32.85 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แก้สูตรพิสัยหา v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·110/sin 90°) = 32.85 m/s

คำตอบ

v₀ = 32.85 m/s

6.การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

คำตอบ: v = 44.83 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

แยกความเร็วต้น

v_x = 35·cos 15° = 33.81 m/s

v_y0 = 35·sin 15° = 9.059 m/s

อัตราเร็วในแนวดิ่งขณะกระทบ

พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง

v_y = √(9.059² + 2·9.81·40) = 29.44 m/s

อัตราเร็วขณะกระทบ

v = √(33.81² + 29.44²) = 44.83 m/s

คำตอบ

v = 44.83 m/s

ตรวจสอบด้วยพลังงาน: v² = v₀² + 2gh

7.งานและพลังงาน

คำตอบ: T = 29.43 N

หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r

อัตราเร็วที่ด้านล่าง

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 90°) = 29.43 m²/s²

แรงที่ด้านล่าง

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·29.43/1.5 = 29.43 N

คำตอบ

T = 29.43 N

ตรวจสอบ: T = mg(3 − 2cos θ) = 29.43 N

8.งานและพลังงาน

คำตอบ: d = 3.534 m

พลังงานสปริง

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·2000·0.2² = 40 J

สมดุลพลังงานตามพื้นเอียง

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(19.62·(0.342 + 0.25·0.9397)) = 3.534 m

คำตอบ

d = 3.534 m

9.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v′₁ = 2.4 m/s

การอนุรักษ์โมเมนตัม: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำระหว่างการชน โมเมนตัมรวม Σm·v ก่อนชนเท่ากับหลังชน ความเร็วมีทิศทาง ดังนั้นให้เลือกทิศบวกและใส่เครื่องหมายลบให้ความเร็วในทิศตรงข้าม ในการชนแบบยืดหยุ่น พลังงานจลน์อนุรักษ์ด้วย ส่วนในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองติดกัน

การชนแบบยืดหยุ่นกับเป้าที่หยุดนิ่ง

การแก้การอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานไปพร้อมกันให้ผลลัพธ์ทั้งสองนี้

v′₁ = (3 − 2)/(3 + 2)·12 = 2.4 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2)·12 = 14.4 m/s

คำตอบ

v′₁ = 2.4 m/s

10.โมเมนตัมและการชน

คำตอบ: v = 260 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ความสูงที่ก้อนไม้ขึ้นไป

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 35°) = 0.217 m

อัตราเร็วหลังการชน

V = √(2·9.81·0.217) = 2.063 m/s

การชน

v = (m + M)·V/m = 2.52·2.063/0.02 = 260 m/s

คำตอบ

v = 260 m/s

11.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: F = 79.71 kN

แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·y_c·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน y_cp = y_c + I_c/(y_cA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.5 = 79.71 kN

คำตอบ

F = 79.71 kN

12.แรงจากความดันของไหลนิ่ง

คำตอบ: y_cp = 2.533 m

ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

แรงลัพธ์

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

จุดศูนย์กลางความดัน

ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.25/(2.5·3) = 2.533 m

คำตอบ

y_cp = 2.533 m

13.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 33.53 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ความต่อเนื่อง

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด

ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·27000/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.589 m/s

v₁ = 1.897 m/s

อัตราการไหล

Q = A₂·v₂ = 0.004418·7.589 = 0.03353 m³/s = 33.53 L/s

คำตอบ

Q = 33.53 L/s

14.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี

คำตอบ: Q = 53.49 L/s

ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.16 = 19777 Pa

ความเร็วที่คอคอด

สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ

β = 100/150 = 0.6667

v₂ = √(2·19777/(1000·(1 − 0.1975))) = 7.021 m/s

อัตราการไหลจริง

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.97·0.007854·7.021 = 0.05349 m³/s = 53.49 L/s

คำตอบ

Q = 53.49 L/s

15.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: P = 886.4 kPa

กฎแก๊สอุดมคติ: PV = nRT โดย n = m/M

โมล

n = m/M = 490/32 = 15.31 mol

T = 75 + 273.15 = 348.1 K

ความดัน

P = nRT/V = 15.31·8.314·348.1/0.05 = 886.4 kPa

คำตอบ

P = 886.4 kPa

16.กฎแก๊สอุดมคติ

คำตอบ: ρ = 3.192 kg/m³

ความหนาแน่นของแก๊สอุดมคติ: ρ = PM/(RT)

จัดรูปกฎแก๊สใหม่

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

ความหนาแน่น

ρ = 700·16.04/(8.314·423.1) = 3.192 kg/m³

คำตอบ

ρ = 3.192 kg/m³

17.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: T_L = 44.85 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

อุณหภูมิสัมบูรณ์ของแหล่งความร้อน

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

อัตราส่วนความร้อนของวัฏจักรผันกลับได้

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 973.1·1013/3100 = 318 K = 44.85 °C

คำตอบ

T_L = 44.85 °C

18.เครื่องยนต์ความร้อนและตู้เย็น

คำตอบ: S_gen = 1.435 kJ/K

การกำเนิดเอนโทรปี: ตลอดวัฏจักรสมบูรณ์ สารทำงานไม่มีการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีสุทธิ แหล่งความร้อนร้อนสูญเสีย Q_H/T_H และแหล่งความร้อนเย็นได้รับ Q_L/T_L ผลรวมของทั้งสองคือเอนโทรปีที่เกิดขึ้น ซึ่งเป็นศูนย์สำหรับวัฏจักรผันกลับได้และเป็นบวกสำหรับวัฏจักรจริงทุกวัฏจักร

ความร้อนที่ปล่อยทิ้ง

Q_L = Q_H − W = 4800 − 1728 = 3072 kJ

อุณหภูมิสัมบูรณ์

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของแหล่งความร้อน

ΔS_H = −4800/573.1 = −8.375 kJ/K

ΔS_L = 3072/313.1 = 9.81 kJ/K

S_gen = 9.81 − 8.375 = 1.435 kJ/K

คำตอบ

S_gen = 1.435 kJ/K

S_gen > 0 ดังนั้นเครื่องยนต์นี้เป็นไปได้แต่ผันกลับไม่ได้

19.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: θ_c = 83.38 °

ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต: ที่รอยต่อ n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (กฎของสเนลล์) โดยวัดมุมจากเส้นแนวฉากและ n = c/v เมื่อเข้าสู่ตัวกลางที่ช้ากว่า รังสีหักเหเข้าหาเส้นแนวฉาก จากตัวกลางที่หนาแน่นกว่า (n₁ > n₂) เกินมุมวิกฤต θ_c = arcsin(n₂/n₁) แสงทั้งหมดจะสะท้อนกลับ: การสะท้อนกลับหมด เลนส์บางและกระจกทรงกลมเป็นไปตาม 1/f = 1/d_o + 1/d_i โดยกำลังขยาย m = −d_i/d_o ข้อตกลงเครื่องหมาย: f > 0 สำหรับเลนส์รวมแสงและกระจกเว้า (f = R/2), f < 0 สำหรับเลนส์กระจายแสงและกระจกนูน; d_i > 0 สำหรับภาพจริง, d_i < 0 สำหรับภาพเสมือน และ m < 0 สำหรับภาพหัวกลับ

การหักเหที่ 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.50 = 0.9933

มุมวิกฤต

θc = arcsin(0.9933) = 83.38°

คำตอบ

θ_c = 83.38°

20.คลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

คำตอบ: λ = 450 nm

การแทรกสอดและการเลี้ยวเบน: แสงจากสลิตสองช่องที่ห่างกัน d ไปถึงจุดหนึ่งบนฉากโดยมีผลต่างระยะทาง d·sin θ แถบสว่างปรากฏที่ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) สำหรับฉากที่ระยะ L ≫ d แถบสว่างลำดับที่ m อยู่ที่ y = mλL/d และระยะห่างระหว่างแถบคือ Δy = λL/d เกรตติงที่มี N เส้นต่อมิลลิเมตรมี d = 1/N และมีค่าสูงสุดที่คมที่ d·sin θ = mλ เนื่องจาก sin θ ≤ 1 อันดับสูงสุดคือจำนวนเต็มที่มากที่สุด m ≤ d/λ สลิตเดี่ยวกว้าง a มีแถบมืดที่ a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

ความยาวคลื่น

λ = y·d/(mL) = 0.027·0.0001/(2·3) = 4.5 × 10⁻⁷ m = 450 nm

คำตอบ

λ = 450 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-for-engineers