สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
การทดสอบไคสแควร์
- ตัวสถิติทดสอบ
- χ² = Σ(O − E)²/E
- ความเหมาะสมของแบบจำลอง
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- ความเป็นอิสระ
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- ค่าวิกฤต (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- การตัดสินใจ
- ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit
2โจทย์ฝึก
1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง
ในการวิเคราะห์เนื้อหา ความเชื่อถือได้ระหว่างผู้ประเมิน (inter-rater reliability) ตรวจสอบโดย:
- Aลงรหัสเนื้อหาสองครั้งในวันเดียว
- Bให้ผู้วิจัยสองคนลงรหัสเนื้อหาเดียวกันและเปรียบเทียบผล
- Cใช้กลุ่มตัวอย่างเนื้อหาที่ใหญ่ขึ้น
- Dถามผู้เข้าร่วมในภายหลังว่าการลงรหัสเนื้อหาของตนโดยผู้วิจัยถูกต้องหรือไม่
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก
ในการศึกษาการเชื่อฟังของมิลแกรม ผู้เข้าร่วมเชื่อว่าตนกำลังให้ไฟฟ้าช็อตจริง ประเด็นจริยธรรมใดถูกยกขึ้นโดยตรงที่สุด และแก้ไขบางส่วนอย่างไร?
- Aขาดการรักษาความลับ แก้ไขโดยการเผยแพร่ชื่อ
- Bการหลอกลวงและความทุกข์ใจที่อาจเกิดขึ้น แก้ไขโดยการชี้แจงหลังการทดลองอย่างละเอียด
- Cขาดกลุ่มควบคุม แก้ไขโดยการสุ่มจัดผู้เข้าร่วมเข้าสู่เงื่อนไข
- Dใช้เด็ก แก้ไขโดยความยินยอมของผู้ปกครอง
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 26, 21, 58, 40, 54
n = 5
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 50 คือเท่าใด
μ = 70σ = 10x = 50
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
ในถุงมีลูกบอลสีแดง 5 ลูกและสีน้ำเงิน 4 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด
5 / 4
P =
6.ความน่าจะเป็นยาก
X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 5X + 1 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σY ของ Y
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.2, 0.2, 0.3, 0.1Y = 5X + 1
σY =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
มวลของถุงปูนซีเมนต์เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.5 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 10 ชิ้นต่ำกว่า 250.8 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 10< 250.8 kg
P =
8.การแจกแจงปกติยาก
อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 90% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90)
μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ตัวอย่าง 6 ชิ้นมีค่าเฉลี่ย 54.5 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 15 ประชากรมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ หาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย
n = 6x̄ = 54.5s = 1595%t(5) = 2.571
ขีดจำกัดบน =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 33 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2
σ = 33E = 295%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
ตัวอย่างนักเรียน 25 คนมีคะแนนเฉลี่ย 50.7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 5 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 50
μ₀ = 50x̄ = 50.7s = 5n = 25
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
ตัวอย่างการวัด 16 ค่ามีค่าเฉลี่ย 193.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 10 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย
x̄ = 193.5σ = 10n = 1699%
L =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
n = 5Σx = 25Σy = 315Σx² = 165Σy² = 21343Σxy = 1817
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x จงทำนาย ŷ สำหรับ x = 1.5
n = 6x = 1.5
ŷ =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง
N = 1402 × 3
χ² =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์ตรวจสอบว่าความถี่ใน 7 กลุ่มเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองซึ่งค่าเฉลี่ยประมาณจากข้อมูลชุดเดียวกันหรือไม่ จากตาราง จงหาค่าวิกฤต χ²crit ที่ระดับนัยสำคัญ α = 0.05
α = 0.05
χ²crit =
3สารละลาย
1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา
คำตอบ: B · ให้ผู้วิจัยสองคนลงรหัสเนื้อหาเดียวกันและเปรียบเทียบผล
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
หากผู้ลงรหัสอิสระให้รหัสคล้ายกันสำหรับข้อมูลเดียวกัน (ความสอดคล้องหรือสหสัมพันธ์สูง) แสดงว่าระบบลงรหัสเชื่อถือได้
คำตอบ
B · ให้ผู้วิจัยสองคนลงรหัสเนื้อหาเดียวกันและเปรียบเทียบผล
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา
คำตอบ: B · การหลอกลวงและความทุกข์ใจที่อาจเกิดขึ้น แก้ไขโดยการชี้แจงหลังการทดลองอย่างละเอียด
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ผู้เข้าร่วมถูกหลอกเรื่องไฟฟ้าช็อตและหลายคนเครียดมาก มิลแกรมชี้แจงผู้เข้าร่วมและให้พบ "ผู้เรียน" การติดตามผลพบว่าส่วนใหญ่ดีใจที่ได้เข้าร่วม แต่จริยธรรมยังคงเป็นที่ถกเถียง
คำตอบ
B · การหลอกลวงและความทุกข์ใจที่อาจเกิดขึ้น แก้ไขโดยการชี้แจงหลังการทดลองอย่างละเอียด
3.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 16.41
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 199/5 = 39.8
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = (−13.8)² + (−18.8)² + 18.2² + 0.2² + 14.2² = 1077
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(1077/4) = 16.41
คำตอบ
s = 16.41
4.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: P = 0.9772
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = −2
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
คำตอบ
P = 0.9772
5.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: P = 0.2778
ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง
P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0.2778
คำตอบ
P = 0.2778
6.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σY = 6.5
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
การกระจายของ X
μ = 2.9, Var(X) = 1.69, σX = 1.3
การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น
σY = |5|·1.3 = 6.5
คำตอบ
σY = 6.5
ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 5·2.9 + 1 = 15.5
7.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.695
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลรวม
μT = 250 kg, σT = 0.5·√10 = 1.581 kg
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (250.8 − 250)/1.581 = 0.51
ความน่าจะเป็น
P = Φ(0.51) = 0.695
คำตอบ
P = 0.695
8.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: x = 551.3 h
การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง
z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
กลับไปเป็น x
x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h
คำตอบ
x = 551.26 h
9.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = 70.24
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
ค่าวิกฤต
df = n − 1 = 5, t = 2.571
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 2.571·15/√6 = 15.74
ช่วง
54.5 ± 15.74 → [38.76, 70.24]
คำตอบ
ขีดจำกัดบน = 70.24
10.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 1046
ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น
แก้หา n
n = (1.96·33/2)² = 1046
ปัดขึ้น
ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป
n = 1046
คำตอบ
n = 1046
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 0.7
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
ตัวสถิติทดสอบ
t = (50.7 − 50)/1 = 0.7
คำตอบ
t = 0.7
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: L = 187.1
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 2.576·10/√16 = 6.44
ขีดจำกัดของช่วง
L = 193.5 − 6.44 = 187.1
คำตอบ
L = 187.1
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = 0.9886
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว
Sxy = 1817 − 25·315/5 = 242
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 21343 − 315²/5 = 1498
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = 242/√(40·1498) = 0.9886
คำตอบ
r = 0.9886
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: ŷ = 22.41
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 117/6 = 19.5
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25.5
เส้นถดถอย
b = −25.5/17.5 = −1.457
a = 19.5 − (−1.457)·3.5 = 24.6
ŷ = 24.6 − 1.457·x
การทำนาย
ŷ = 24.6 + (−1.457)·1.5 = 22.41
คำตอบ
ŷ = 22.41
15.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ² = 1.967
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ความถี่ที่คาดหวัง
เขตเมือง: 80·35/140 = 20, 80·49/140 = 28, 80·56/140 = 32
ชนบท: 60·35/140 = 15, 60·49/140 = 21, 60·56/140 = 24
ค่าสถิติไคสแควร์
χ² = (22 − 20)²/20 + (30 − 28)²/28 + (28 − 32)²/32 + (13 − 15)²/15 + (19 − 21)²/21 + (28 − 24)²/24
χ² = 1.967
คำตอบ
χ² = 1.967
df = 2 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 5.991 ดังนั้น ไม่ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)
16.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ²crit = 11.07
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
องศาเสรี
df = 7 − 1 − 1 = 5
ตาราง
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
คำตอบ
χ²crit = 11.070
ปฏิเสธ H₀ ถ้าค่า χ² ที่คำนวณได้มากกว่าค่านี้
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology