ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

เพื่อให้ได้กลุ่มตัวอย่างที่มีสัดส่วนนักศึกษาปีหนึ่ง ปีสอง และปีสามเท่ากับประชากรของมหาวิทยาลัย ผู้วิจัยควรใช้:

  1. Aการสุ่มตัวอย่างตามโอกาส
  2. Bการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้น (stratified sampling)
  3. Cการสุ่มตัวอย่างแบบลูกโซ่
  4. Dการสุ่มตัวอย่างแบบอาสาสมัคร
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

ในทฤษฎีฐานราก (grounded theory) การเก็บข้อมูลดำเนินต่อไปจนกระทั่ง:

  1. Aถึงจุดอิ่มตัวทางทฤษฎี และข้อมูลใหม่ไม่เพิ่มหมวดหมู่ใหม่
  2. Bสัมภาษณ์ผู้เข้าร่วมอย่างน้อย 1,000 คน
  3. Cสมมติฐานเดิมได้รับการยืนยัน
  4. Dได้ค่า p ต่ำกว่า 0.05
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
2025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 43, 34, 37, 47, 26, 56, 18

n = 7
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 84 คือเท่าใด

μ = 100σ = 20x = 84
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
แดง: 6น้ำเงิน: 3

ในถุงมีลูกบอลสีแดง 6 ลูกและสีน้ำเงิน 3 ลูก หยิบสองลูกโดยไม่ใส่ลูกแรกคืน ความน่าจะเป็น P ที่ทั้งสองลูกเป็นสีแดงคือเท่าใด

6 / 3
P =
6.ความน่าจะเป็นยาก
€p(x)−100.65300.31900.05

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €10 คุณชนะ €40 ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และ €200 ด้วยความน่าจะเป็น 0.05 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €10€40: p = 0.3€200: p = 0.05
E(G) = €
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
−3−2−10123zพื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z = 0.9399

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.9399 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.9399
z =
8.การแจกแจงปกติยาก
557085100115130145คะแนนบน 90%

คะแนน IQ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 100 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนบน 90% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 100 คะแนนσ = 15 คะแนน90%
x = คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
x̄E₁ = 10.995%, n = 50x̄E₂ = ?99%, n = 200

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 50 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 10.9 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ ของช่วง 99% จาก 200 ค่าเป็นเท่าใด

95%n₁ = 50E₁ = 10.999%n₂ = 200
E₂ =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
σ = 23, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 23 ต้องใช้ขนาดตัวอย่าง n เท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 2.5

σ = 23E = 2.590%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −1.98401.984

ตัวอย่างนักเรียน 100 คนมีคะแนนเฉลี่ย 199.1 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 4 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 200

μ₀ = 200x̄ = 199.1s = 4n = 100
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

ต้องใช้ขนาดตัวอย่างเท่าใดจึงจะทำให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ยมีค่าความคลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 20 หาขนาดตัวอย่างที่น้อยที่สุด n

σ = 20E = 0.599%
n =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy14251623184020392249xy1520304050

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 5
r² =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy348559770981119513103xy5106080100ŷ = 99

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 99 ที่ค่า x ใด

n = 6ŷ = 99
x =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
อาการดีขึ้นอาการไม่ดีขึ้นรวมยาตัวใหม่263460ยาหลอก93140รวม3565100

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1002 × 2
χ² =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ใช่ไม่ใช่รวมโรงงาน A164460โรงงาน B4555100โรงงาน C273360รวม88132220dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.05 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง

N = 2203 × 2α = 0.05
χ² =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: B · การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้น (stratified sampling)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การสุ่มแบบแบ่งชั้นระบุกลุ่มย่อย (ชั้น) แล้วสุ่มจากแต่ละชั้นตามสัดส่วนขนาดในประชากร ทำให้กลุ่มตัวอย่างเป็นตัวแทนได้ดีขึ้น

คำตอบ

B · การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้น (stratified sampling)
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: A · ถึงจุดอิ่มตัวทางทฤษฎี และข้อมูลใหม่ไม่เพิ่มหมวดหมู่ใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทฤษฎีฐานรากพัฒนาทฤษฎีแบบอุปนัย โดยเก็บและลงรหัสข้อมูลไปพร้อมกัน และหยุดสุ่มเมื่อข้อมูลใหม่ไม่พัฒนาหมวดหมู่เพิ่มอีก

คำตอบ

A · ถึงจุดอิ่มตัวทางทฤษฎี และข้อมูลใหม่ไม่เพิ่มหมวดหมู่ใหม่
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 12.83

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 261/7 = 37.29

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 5.714² + (−3.286)² + (−0.2857)² + 9.714² + (−11.29)² + 18.71² + (−19.29)² = 987.4

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(987.4/6) = 12.83

คำตอบ

s = 12.83
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.2119

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −0.8

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119

คำตอบ

P = 0.2119
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.4167

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

การหยิบครั้งแรกและครั้งที่สอง

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0.4167

คำตอบ

P = 0.4167
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 12 €

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 30 (p = 0.3), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.65)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 30·0.3 + 190·0.05 − 10·0.65 = 12 €

คำตอบ

E(G) = 12 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.88

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.9399)/2 = 0.9699

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9699 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.88

คำตอบ

z = 1.88
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 80.8 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.1

z จากตาราง

z ≈ −1.28

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 คะแนน

คำตอบ

x = 80.8 คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 7.163

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(50/200) = 0.6571

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 10.9·0.6571 = 7.163

คำตอบ

E₂ = 7.163
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 230

ช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ย: x̄ ± ค่าความคลาดเคลื่อน เมื่อทราบ σ ของประชากร ค่าความคลาดเคลื่อนคือ z·σ/√n เมื่อมีเพียงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ให้ใช้ t ที่องศาเสรี n − 1: t·s/√n ค่าวิกฤต: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%) เพื่อให้ได้ค่าความคลาดเคลื่อน E หรือน้อยกว่า ต้องมี n ≥ (z·σ/E)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = (1.645·23/2.5)² = 229

ปัดขึ้น

ขนาดตัวอย่างเป็นจำนวนเต็ม และการปัดลงจะทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนมากเกินไป

n = 230

คำตอบ

n = 230
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −2.25

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

ตัวสถิติทดสอบ

t = (199.1 − 200)/0.4 = −2.25

คำตอบ

t = −2.25
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 10618

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

แก้หา n

n = (2.576·20/0.5)² = 10617

ปัดขึ้น

n = 10618

คำตอบ

n = 10618
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.8519

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 176/5 = 35.2

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Syy = Σ(y − ȳ)² = 480.8

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = 128²/(40·480.8) = 0.8519

คำตอบ

r² = 0.8519

ประมาณ 85.19% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 12.09

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 456/6 = 76

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 394

เส้นถดถอย

b = 394/70 = 5.629
a = 76 − 5.629·8 = 30.97
ŷ = 30.97 + 5.629·x

แก้หา x

x = (99 − 30.97)/5.629 = 12.09

คำตอบ

x = 12.09
15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 4.579

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

ยาตัวใหม่: 60·35/100 = 21, 60·65/100 = 39
ยาหลอก: 40·35/100 = 14, 40·65/100 = 26

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (26 − 21)²/21 + (34 − 39)²/39 + (9 − 14)²/14 + (31 − 26)²/26
χ² = 4.579

คำตอบ

χ² = 4.579

df = 1 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 3.841 ดังนั้น ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 6.111

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

โรงงาน A: 24, 36
โรงงาน B: 40, 60
โรงงาน C: 24, 36

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (16 − 24)²/24 + (44 − 36)²/36 + (45 − 40)²/40 + (55 − 60)²/60 + (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36
χ² = 6.111

การตัดสินใจ

df = 2, χ²crit = 5.991
6.111 > 5.991

คำตอบ

χ² = 6.111

χ² มากกว่าค่าวิกฤต จึงปฏิเสธ H₀: ตัวแปรทั้งสองดูเหมือนมีความสัมพันธ์กัน

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology