ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ค่า p เท่ากับ 0.03 หมายความว่า:

  1. Aผลจะทำซ้ำได้ 97% ของเวลา
  2. Bหากสมมติฐานว่างเป็นจริง ข้อมูลสุดโต่งเท่านี้จะเกิดขึ้นประมาณ 3% ของเวลา
  3. Cผลมีขนาดใหญ่
  4. Dเมื่อพิจารณาข้อมูลที่สังเกตได้ มีความน่าจะเป็นเพียง 3% ที่สมมติฐานว่างเป็นจริง
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

ผู้วิจัยทำการวิเคราะห์ 20 ครั้งกับชุดข้อมูลหนึ่งและรายงานเฉพาะครั้งที่ได้ p < 0.05 การปฏิบัตินี้เรียกว่า:

  1. AP-hacking
  2. Bการลงทะเบียนล่วงหน้า
  3. Cการตรวจสอบสามเส้า (triangulation)
  4. Dการสลับลำดับ
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
15202530354045

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 15, 45, 44, 49, 31, 20, 17

n = 7
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 สัดส่วน P ของค่าที่ต่ำกว่า 179 คือเท่าใด

μ = 170σ = 15x = 179
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
xp(x)00.3510.320.35μ = 1

สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
σ =
6.ความน่าจะเป็นยาก
n = 7, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k01234567

ทดสอบชิ้นส่วน 7 ชิ้น แต่ละชิ้นเสียด้วยความน่าจะเป็น 0.6 อย่างอิสระ ความน่าจะเป็น P ที่เสียไม่เกินหนึ่งชิ้นคือเท่าใด

n = 7p = 0.6
P =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
−3−2−10123zพื้นที่แรเงาทางขวาของ z = 0.0526

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวาของ z เป็น 0.0526 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.0526
z =
8.การแจกแจงปกติยาก
35455565758595คะแนนบน 75%

คะแนนสอบ แจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 65 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน ลากค่าตัดให้ส่วนบน 75% ที่แรเงาอยู่ทางขวา หาค่าตัด x

μ = 65 คะแนนσ = 10 คะแนน75%
x = คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
n = 12, sd​ = 5.30LUd̄ = 0.9E = ?95%

วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 12 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย 0.9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.3 จงหาค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับผลต่างเฉลี่ย

n = 12d̄ = 0.9sd = 5.395%t(11) = 2.201
E = mmHg
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0190%

ไม่ทราบสัดส่วนของสินค้าบกพร่องล่วงหน้า ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.01

p = 0.5E = 0.0190%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −2.13102.131

ตัวอย่างนักเรียน 16 คนมีคะแนนเฉลี่ย 117.3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 12 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 120

μ₀ = 120x̄ = 117.3s = 12n = 16
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
z −1.9601.96

ตัวอย่างการวัด 36 ค่ามีค่าเฉลี่ย 121.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 15 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 121.5σ = 15n = 3695%
L =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy250354462569671xy246506070

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 20Σy = 306Σx² = 90Σy² = 19062Σxy = 1281
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy163818482052225624602678xy2025406080x = 17

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อุณหภูมิใน °C และ y = ไอศกรีมที่ขายได้ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (17, 38) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ

n = 6(17, 38)
e =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ต่ำปานกลางสูงรวมเขตเมือง383636110ชนบท333734104รวม717370214

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ จงหาความถี่ที่คาดหวัง E ของช่อง “เขตเมือง, ต่ำ”

ผลรวมแถว = 110ผลรวมหลัก = 71N = 214
E =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ใช่ไม่ใช่รวมอายุ 18–30431760อายุ 31–50293160อายุ 51+241640รวม9664160dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.05 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง

N = 1603 × 2α = 0.05
χ² =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: B · หากสมมติฐานว่างเป็นจริง ข้อมูลสุดโต่งเท่านี้จะเกิดขึ้นประมาณ 3% ของเวลา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ค่า p คือความน่าจะเป็นของผลที่สุดโต่งอย่างน้อยเท่ากับที่สังเกตได้หากสมมติฐานว่างเป็นจริง ไม่ได้บอกความน่าจะเป็นที่สมมติฐานจะเป็นจริงหรือขนาดของผล

คำตอบ

B · หากสมมติฐานว่างเป็นจริง ข้อมูลสุดโต่งเท่านี้จะเกิดขึ้นประมาณ 3% ของเวลา
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: A · P-hacking

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P-hacking ใช้ประโยชน์จากความยืดหยุ่นของการวิเคราะห์เพื่อให้ได้นัยสำคัญ ทำให้อัตราผลบวกลวงสูงกว่า 5% มาก การลงทะเบียนล่วงหน้าและการรายงานอย่างโปร่งใสช่วยลดปัญหานี้

คำตอบ

A · P-hacking
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 14.49

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 221/7 = 31.57

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = (−16.57)² + 13.43² + 12.43² + 17.43² + (−0.5714)² + (−11.57)² + (−14.57)² = 1260

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(1260/6) = 14.49

คำตอบ

s = 14.49
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.7257

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = 0.6

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257

คำตอบ

P = 0.7257
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σ = 0.8367

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ค่าเฉลี่ย

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

ความแปรปรวน

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7
σ = √0.7 = 0.8367

คำตอบ

σ = 0.8367
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.01884

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

เสียศูนย์ชิ้นและหนึ่งชิ้น

P(X = 0) = 0.47 = 0.001638
P(X = 1) = 7·0.6·0.46 = 0.0172

บวกเข้าด้วยกัน

P = 0.001638 + 0.0172 = 0.01884

คำตอบ

P = 0.01884
7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.62

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = 1 − 0.0526 = 0.9474

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.9474 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.62

คำตอบ

z = 1.62
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 58.3 คะแนน

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้าย

Φ(z) = 0.25

z จากตาราง

z ≈ −0.67

กลับเป็นหน่วยเดิม

x = 65 − 0.67·10 = 58.3 คะแนน

คำตอบ

x = 58.3 คะแนน
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E = 3.367 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าวิกฤต

df = 11, t = 2.201

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.201·5.3/√12 = 3.367

คำตอบ

E = 3.367 mmHg
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 6766

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.01² = 6765

ปัดขึ้น

n = 6766

คำตอบ

n = 6766
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −0.9

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

ตัวสถิติทดสอบ

t = (117.3 − 120)/3 = −0.9

คำตอบ

t = −0.9
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: L = 116.6

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.96·15/√36 = 4.9

ขีดจำกัดของช่วง

L = 121.5 − 4.9 = 116.6

คำตอบ

L = 116.6
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9851

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

Sxy = 1281 − 20·306/5 = 57
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 19062 − 306²/5 = 334.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 57/√(10·334.8) = 0.9851

คำตอบ

r = 0.9851
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: e = −3.619

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 332/6 = 55.33

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

เส้นถดถอย

b = 240/70 = 3.429
a = 55.33 − 3.429·21 = −16.67
ŷ = −16.67 + 3.429·x

ค่าทำนาย

ŷ = −16.67 + 3.429·17 = 41.62

ส่วนตกค้าง

e = 38 − 41.62 = −3.619

คำตอบ

e = −3.619

จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง

15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: E = 36.5

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

E = 110·71/214 = 36.5

คำตอบ

E = 36.5
16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 6.806

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

อายุ 18–30: 36, 24
อายุ 31–50: 36, 24
อายุ 51+: 24, 16

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (43 − 36)²/36 + (17 − 24)²/24 + (29 − 36)²/36 + (31 − 24)²/24 + (24 − 24)²/24 + (16 − 16)²/16
χ² = 6.806

การตัดสินใจ

df = 2, χ²crit = 5.991
6.806 > 5.991

คำตอบ

χ² = 6.806

χ² มากกว่าค่าวิกฤต จึงปฏิเสธ H₀: ตัวแปรทั้งสองดูเหมือนมีความสัมพันธ์กัน

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology