สถิติเชิงพรรณนา
- ค่าเฉลี่ย
- x̄ = Σx/n
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- มัธยฐาน
- ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- การแจกแจงปกติ
- 68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ
ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความน่าจะเป็น
- ส่วนเติมเต็ม
- P(not A) = 1 − P(A)
- กฎการบวก
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- เหตุการณ์อิสระ
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ทวินาม
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
การแจกแจงปกติ
- คะแนนมาตรฐาน z
- z = (x − μ)/σ
- ต่ำกว่า x
- P(X < x) = Φ(z)
- สูงกว่า x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- ระหว่าง
- Φ(z2) − Φ(z1)
- เปอร์เซ็นไทล์
- x = μ + z·σ
วิธีการ
- แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
- ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
- สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
- สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ
ช่วงความเชื่อมั่น
- ทราบ σ
- x̄ ± z·σ/√n
- ไม่ทราบ σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- ค่าวิกฤต z
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- ขนาดตัวอย่าง
- n = (z·σ/E)², rounded up
วิธีการ
- ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
- หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
- ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
- ช่วง: x̄ ± E
การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
- การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- สองทางที่ระดับ 5%
- ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
- ช่วงความเชื่อมั่น
- x̄ ± z·σ/√n
วิธีการ
- ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
- คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
- เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
- ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด
การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
- ผลรวมกำลังสอง
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- ความชัน
- b = Sxy/Sxx
- ระยะตัดแกน
- a = ȳ − b·x̄
- สหสัมพันธ์
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- ส่วนตกค้าง
- e = y − ŷ
การทดสอบไคสแควร์
- ตัวสถิติทดสอบ
- χ² = Σ(O − E)²/E
- ความเหมาะสมของแบบจำลอง
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- ความเป็นอิสระ
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- ค่าวิกฤต (α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- การตัดสินใจ
- ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit
2โจทย์ฝึก
1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง
ผู้เข้าร่วม 25 คนกลุ่มเดิมทำแบบทดสอบความจำก่อนและหลังคาเฟอีน คะแนนเป็นระดับอันตรภาคและแจกแจงใกล้เคียงปกติ ควรใช้การทดสอบใด?
- Aการทดสอบไคสแควร์
- Bการทดสอบ Mann–Whitney U
- Cการทดสอบ t แบบจับคู่ (กลุ่มตัวอย่างสัมพันธ์กัน)
- Dการทดสอบ t สำหรับกลุ่มตัวอย่างอิสระ
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก
ผู้วิจัยพบว่ายอดขายไอศกรีมและการเสียชีวิตจากการจมน้ำมีสหสัมพันธ์เชิงบวก คำอธิบายใดน่าเชื่อถือที่สุด?
- Aอากาศร้อนเพิ่มทั้งยอดขายไอศกรีมและการว่ายน้ำ
- Bไอศกรีมทำให้จมน้ำ
- Cการจมน้ำเพิ่มยอดขายไอศกรีม
- Dสหสัมพันธ์ต้องเป็นความผิดพลาดในการคำนวณ
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 26, 15, 13, 47, 28, 40, 32
n = 7
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 70 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 หาคะแนนมาตรฐาน z z ของคะแนน 62.5
μ = 70σ = 5x = 62.5
z =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
สำหรับการแจกแจงที่แสดง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ของ X
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.25, 0.25, 0.2
σ =
6.ความน่าจะเป็นยาก
เกมหนึ่งมีค่าเล่น €5 คุณชนะ €15 ด้วยความน่าจะเป็น 0.25 และ €50 ด้วยความน่าจะเป็น 0.02 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม
ค่าเล่น = €5€15: p = 0.25€50: p = 0.02
E(G) = €
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
มวลของถุงปูนซีเมนต์เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 kg และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.5 kg จงหาความน่าจะเป็น P ที่มวลรวมของ 16 ชิ้นเกิน 403 kg ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 16> 403 kg
P =
8.การแจกแจงปกติยาก
เส้นผ่านศูนย์กลางรู D มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25.02 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.015 mm เส้นผ่านศูนย์กลางเพลา d เป็นอิสระและมีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 25 mm และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.01 mm เพลาที่สุ่มเลือกสวมได้เมื่อ D − d > 0 จงหาความน่าจะเป็น P ที่มันสวมได้ ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม
รู: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmเพลา: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
เปรียบเทียบอายุแบตเตอรี่ของโทรศัพท์สองรุ่น รุ่นที่ 1: 40 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 40 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 h รุ่นที่ 2: 40 เครื่อง ค่าเฉลี่ย 51.5 h ทราบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 17 h จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับ μ₁ − μ₂
n₁ = 40x̄₁ = 40 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 51.5 hσ₂ = 17 h95%
ขีดจำกัดบน = h
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
ไม่ทราบสัดส่วนของสินค้าบกพร่องล่วงหน้า ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.04
p = 0.5E = 0.0495%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
พนักงาน 20 คนทำแบบทดสอบการพิมพ์ก่อนและหลังหลักสูตรอบรม บันทึกผลต่าง d = หลัง − ก่อน (คำต่อนาที) ของแต่ละคน ค่าเฉลี่ยของผลต่างคือ 7.52 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลต่างคือ 11.6 จงหาค่าสถิติทดสอบแบบจับคู่ t สำหรับ H₀: μd = 0
n = 20d̄ = 7.52sd = 11.6
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
ตัวอย่างการวัด 64 ค่ามีค่าเฉลี่ย 197.8 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 15 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับค่าเฉลี่ย
x̄ = 197.8σ = 15n = 6499%
L =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้
n = 5Σx = 15Σy = 93Σx² = 55Σy² = 1815Σxy = 250
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x มีข้อมูลสังเกตใหม่ (2.5, 22) จงหาส่วนตกค้าง e = y − ŷ
n = 5(2.5, 22)
e =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ จงหาความถี่ที่คาดหวัง E ของช่อง “กะกลางคืน, เล็กน้อย”
ผลรวมแถว = 106ผลรวมหลัก = 50N = 163
E =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
การทดสอบภาวะสารูปสนิทดีด้วยไคสแควร์ตรวจสอบว่าความถี่ใน 7 กลุ่มเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองซึ่งค่าเฉลี่ยประมาณจากข้อมูลชุดเดียวกันหรือไม่ จากตาราง จงหาค่าวิกฤต χ²crit ที่ระดับนัยสำคัญ α = 0.05
α = 0.05
χ²crit =
3สารละลาย
1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา
คำตอบ: C · การทดสอบ t แบบจับคู่ (กลุ่มตัวอย่างสัมพันธ์กัน)
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
การทดสอบ t แบบจับคู่เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยจากผู้เข้าร่วมกลุ่มเดียวกันสองเงื่อนไข โดยใช้ผลต่างภายในแต่ละคน
คำตอบ
C · การทดสอบ t แบบจับคู่ (กลุ่มตัวอย่างสัมพันธ์กัน)
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา
คำตอบ: A · อากาศร้อนเพิ่มทั้งยอดขายไอศกรีมและการว่ายน้ำ
เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้
ตัวแปรที่สามคืออุณหภูมิ เป็นสาเหตุของทั้งสองอย่าง นี่แสดงว่าเหตุใดสหสัมพันธ์เพียงอย่างเดียวจึงแสดงความเป็นเหตุเป็นผลไม่ได้
คำตอบ
A · อากาศร้อนเพิ่มทั้งยอดขายไอศกรีมและการว่ายน้ำ
3.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: s = 12.35
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 201/7 = 28.71
กำลังสองของความเบี่ยงเบน
Σ(x − x̄)² = (−2.714)² + (−13.71)² + (−15.71)² + 18.29² + (−0.7143)² + 11.29² + 3.286² = 915.4
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
s = √(915.4/6) = 12.35
คำตอบ
s = 12.35
4.สถิติเชิงพรรณนา
คำตอบ: z = −1.5
สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (62.5 − 70)/5 = −1.5
คำตอบ
z = −1.5
5.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: σ = 1.26
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ค่าเฉลี่ย
μ = 0·0.1 + 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.2 = 2.25
ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง
E(X²) = 0·0.1 + 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.2 = 6.65
ความแปรปรวน
Var(X) = 6.65 − 2.25² = 1.588
σ = √1.588 = 1.26
คำตอบ
σ = 1.26
6.ความน่าจะเป็น
คำตอบ: E(G) = −0.25 €
ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย
ผลลัพธ์สุทธิ
G: 10 (p = 0.25), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)
ค่าคาดหมาย
E(G) = 10·0.25 + 45·0.02 − 5·0.73 = −0.25 €
คำตอบ
E(G) = −0.25 €
ค่าติดลบหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณเสียเงิน
7.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.06681
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลรวม
μT = 400 kg, σT = 0.5·√16 = 2 kg
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (403 − 400)/2 = 1.5
ความน่าจะเป็น
P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681
คำตอบ
P = 0.06681
8.การแจกแจงปกติ
คำตอบ: P = 0.8665
ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)
การแจกแจงของผลต่าง
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm
ทำให้เป็นมาตรฐาน
z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11
ความน่าจะเป็น
P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665
คำตอบ
P = 0.8665
9.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: ขีดจำกัดบน = −3.365 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
ค่าประมาณแบบจุด
x̄₁ − x̄₂ = 40 − 51.5 = −11.5
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน
SE = √(20²/40 + 17²/40) = 4.15
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 1.96·4.15 = 8.135
ช่วง
−11.5 ± 8.135 → [−19.63, −3.365]
คำตอบ
ขีดจำกัดบน = −3.365 h
ช่วงไม่มี 0 อยู่ภายใน ดังนั้นค่าเฉลี่ยต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ
10.ช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
แก้หา n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.04² = 600.2
ปัดขึ้น
n = 601
คำตอบ
n = 601
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: t = 2.899
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของผลต่างเฉลี่ย
SE = 11.6/√20 = 2.594
ตัวสถิติทดสอบ
t = 7.52/2.594 = 2.899
คำตอบ
t = 2.899
เมื่อ df = 19 ค่าวิกฤตสองด้านที่ 5% คือ 2.093 |t| มากกว่า จึงปฏิเสธ H₀
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น
คำตอบ: L = 193
การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)
ค่าความคลาดเคลื่อน
E = 2.576·15/√64 = 4.83
ขีดจำกัดของช่วง
L = 197.8 − 4.83 = 193
คำตอบ
L = 193
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: r = −0.9935
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว
Sxy = 250 − 15·93/5 = −29
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1815 − 93²/5 = 85.2
สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์
r = −29/√(10·85.2) = −0.9935
คำตอบ
r = −0.9935
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์
คำตอบ: e = −2.4
การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้
ค่าเฉลี่ย
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23.2
ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
เส้นถดถอย
b = −24/10 = −2.4
a = 23.2 − (−2.4)·3 = 30.4
ŷ = 30.4 − 2.4·x
ค่าทำนาย
ŷ = 30.4 + (−2.4)·2.5 = 24.4
ส่วนตกค้าง
e = 22 − 24.4 = −2.4
คำตอบ
e = −2.4
จุดนี้อยู่ใต้เส้นตรง
15.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: E = 32.52
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
ความถี่ที่คาดหวัง
E = 106·50/163 = 32.52
คำตอบ
E = 32.52
16.การทดสอบไคสแควร์
คำตอบ: χ²crit = 11.07
การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก
องศาเสรี
df = 7 − 1 − 1 = 5
ตาราง
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
คำตอบ
χ²crit = 11.070
ปฏิเสธ H₀ ถ้าค่า χ² ที่คำนวณได้มากกว่าค่านี้
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology