ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ผู้วิจัยศึกษาผลของเพศต่อคะแนนความจำ เหตุใดจึงเป็นการทดลองกึ่งทดลองมากกว่าการทดลองแท้?

  1. Aไม่ได้วัด DV
  2. BIV เป็นลักษณะที่มีอยู่เดิม จึงไม่สามารถสุ่มจัดสรรผู้เข้าร่วมได้
  3. Cการศึกษาเกิดขึ้นในห้องปฏิบัติการ
  4. Dมีเพียงสองเงื่อนไข และการทดลองแท้ต้องมี IV อย่างน้อยสามระดับ
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

ผู้เข้าร่วมได้รับยาหรือเม็ดน้ำตาลแต่ไม่ทราบว่าอะไร ขณะที่ผู้วิจัยทราบ นี่คือการออกแบบแบบใด และอคติใดยังเป็นไปได้?

  1. Aปกปิดฝ่ายเดียว ยังอาจมีอคติของผู้ทดลอง
  2. Bการทดลองแบบเปิด ผลของยาหลอกถูกควบคุมอย่างเต็มที่
  3. Cปกปิดฝ่ายเดียว ลักษณะเรียกร้องเป็นไปไม่ได้
  4. Dปกปิดสองฝ่าย ไม่สามารถมีอคติได้
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
20253035404550

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 53, 17, 46, 38, 22

n = 5
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 170 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 140 คือเท่าใด

μ = 170σ = 20x = 140
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
P(หกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = ??1?2?3?4?5?6?7?8P(หก) = 1/6 ในแต่ละการทอย

ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 8 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด

n = 8
P =
6.ความน่าจะเป็นยาก
xp(x)100.3200.3300.1400.3μ

X มีการแจกแจงดังที่แสดง และ Y = 2X + 10 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σY ของ Y

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.3, 0.1, 0.3Y = 2X + 10
σY =
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
30.544.3P = ?

เวลาจัดส่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 32 min และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 min สัดส่วนที่อยู่ระหว่าง 30.5 และ 44.3 min เป็นเท่าใด ตอบ P เป็นทศนิยม

μ = 32σ = 6x1 = 30.5x2 = 44.3
P =
8.การแจกแจงปกติยาก
μ = 500x = ?25%

อายุการใช้งานของแบตเตอรี่มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 500 h และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 h หาค่า x ที่ต่ำกว่าค่านั้นมี 25% (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25)

μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
n = 16, sd​ = 70LU = ?d̄ = −10E99%

วัดความดันโลหิตของผู้ป่วย 16 คนก่อนและหลังการรักษา ผลต่าง d = ก่อน − หลัง (mmHg) มีค่าเฉลี่ย −10 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 จงหาขีดจำกัดบนของช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับผลต่างเฉลี่ย

n = 16d̄ = −10sd = 799%t(15) = 2.947
ขีดจำกัดบน = mmHg
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
μ₁ − μ₂, t(19) = 1.7290L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

ทดสอบปุ๋ยสองชนิด กลุ่มแปลงที่ 1: 15 แปลง ผลผลิตเฉลี่ย 80.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.5 kg กลุ่มแปลงที่ 2: 6 แปลง ค่าเฉลี่ย 76.5 kg ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 kg สมมติความแปรปรวนเท่ากัน (t รวม, df = n₁ + n₂ − 2) จงหาขีดจำกัดล่างของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับ μ₁ − μ₂

n₁ = 15x̄₁ = 80.5s₁ = 5.5n₂ = 6x̄₂ = 76.5s₂ = 390%t(19) = 1.729
ขีดจำกัดล่าง = kg
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −1.98401.984

ตัวอย่างนักเรียน 100 คนมีคะแนนเฉลี่ย 198.9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 8 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 200

μ₀ = 200x̄ = 198.9s = 8n = 100
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
z −1.64501.645

ตัวอย่างการวัด 25 ค่ามีค่าเฉลี่ย 102.6 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรคือ 8 หาขีดจำกัดล่าง L ของช่วงความเชื่อมั่น 90% สำหรับค่าเฉลี่ย

x̄ = 102.6σ = 8n = 2590%
L =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy122222320417515610xy246101520

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 6 ค่า ของ x = อายุรถเป็นปี และ y = ราคาเป็น k€ จงหาสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ r² ของเส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด

n = 6
r² =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy2247688131014xy51051015ŷ = 4

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = น้ำหนักบรรทุกใน kN และ y = ระยะยืดใน mm ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 4 ที่ค่า x ใด

n = 5ŷ = 4
x =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ต่ำปานกลางสูงรวมเขตเมือง20481280ชนบท8153760รวม286349140

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงคำนวณค่าสถิติไคสแควร์ χ² สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระระหว่างตัวแปรแถวและตัวแปรหลัก โดยไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง

N = 1402 × 3
χ² =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ใช่ไม่ใช่รวมโรงงาน A275380โรงงาน B303060โรงงาน C233760รวม80120200dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.01 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง

N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: B · IV เป็นลักษณะที่มีอยู่เดิม จึงไม่สามารถสุ่มจัดสรรผู้เข้าร่วมได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในการทดลองกึ่งทดลอง IV เป็นความแตกต่างที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติระหว่างบุคคล หากไม่มีการจัดสรรแบบสุ่ม ความแตกต่างอื่นระหว่างกลุ่มอาจรบกวนผล

คำตอบ

B · IV เป็นลักษณะที่มีอยู่เดิม จึงไม่สามารถสุ่มจัดสรรผู้เข้าร่วมได้
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: A · ปกปิดฝ่ายเดียว ยังอาจมีอคติของผู้ทดลอง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในการออกแบบปกปิดฝ่ายเดียว ผู้เข้าร่วมไม่ทราบเงื่อนไขของตน ซึ่งควบคุมความคาดหวังต่อยาหลอก ความรู้ของผู้วิจัยยังอาจมีอิทธิพลต่อผล จึงนิยมการออกแบบปกปิดสองฝ่าย

คำตอบ

A · ปกปิดฝ่ายเดียว ยังอาจมีอคติของผู้ทดลอง
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 15.39

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 176/5 = 35.2

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 17.8² + (−18.2)² + 10.8² + 2.8² + (−13.2)² = 946.8

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(946.8/4) = 15.39

คำตอบ

s = 15.39
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.9332

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.5

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

คำตอบ

P = 0.9332
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.7674

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

ส่วนเติมเต็ม

P(ไม่ได้เลขหก) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674

คำตอบ

P = 0.7674
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: σY = 24

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

การกระจายของ X

μ = 24, Var(X) = 144, σX = 12

การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

σY = |2|·12 = 24

คำตอบ

σY = 24

ค่าเฉลี่ยเลื่อนจริง: E(Y) = 2·24 + 10 = 58

7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.5785

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

คะแนนมาตรฐาน z

z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25
z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

พื้นที่ระหว่างสองค่า

P = Φ(2.05) − Φ(−0.25) = 0.9798 − 0.4013 = 0.5785

คำตอบ

P = 0.5785
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: x = 473 h

การแจกแจงปกติ: แปลงค่า x เป็นคะแนนมาตรฐาน z คือ z = (x − μ)/σ ซึ่งนับจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ตาราง z (หรือ Φ(z)) ให้พื้นที่ทางซ้ายของ z ซึ่งคือ P(X < x) พื้นที่ทางขวาคือ 1 − Φ(z) และพื้นที่ระหว่างสองค่าคือผลต่างของพื้นที่ทั้งสอง

z สำหรับเปอร์เซ็นไทล์

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

กลับไปเป็น x

x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h

คำตอบ

x = 473.02 h
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดบน = −4.843 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ค่าวิกฤต

df = 15, t = 2.947

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 2.947·7/√16 = 5.157

ช่วง

−10 ± 5.157 → [−15.16, −4.843]

คำตอบ

ขีดจำกัดบน = −4.843 mmHg
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: ขีดจำกัดล่าง = −0.1473 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม

sp² = (14·5.5² + 5·3²)/19 = 24.66
sp = 4.966

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.729·4.966·√(1/15 + 1/6) = 4.147

ช่วง

4 ± 4.147 → [−0.1473, 8.147]

คำตอบ

ขีดจำกัดล่าง = −0.1473 kg
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = −1.375

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

ตัวสถิติทดสอบ

t = (198.9 − 200)/0.8 = −1.375

คำตอบ

t = −1.375
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984 ดังนั้นไม่ปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: L = 99.97

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ค่าความคลาดเคลื่อน

E = 1.645·8/√25 = 2.632

ขีดจำกัดของช่วง

L = 102.6 − 2.632 = 99.97

คำตอบ

L = 99.97
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r² = 0.922

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 106/6 = 17.67

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42
Syy = Σ(y − ȳ)² = 109.3

สัมประสิทธิ์การตัดสินใจ

r² = −42²/(17.5·109.3) = 0.922

คำตอบ

r² = 0.922

ประมาณ 92.2% ของความผันแปรของ y อธิบายได้ด้วยเส้นตรง

14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 2.8

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 44/5 = 8.8

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

เส้นถดถอย

b = 60/40 = 1.5
a = 8.8 − 1.5·6 = −0.2
ŷ = −0.2 + 1.5·x

แก้หา x

x = (4 − (−0.2))/1.5 = 2.8

คำตอบ

x = 2.8
15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 33

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

เขตเมือง: 80·28/140 = 16, 80·63/140 = 36, 80·49/140 = 28
ชนบท: 60·28/140 = 12, 60·63/140 = 27, 60·49/140 = 21

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (20 − 16)²/16 + (48 − 36)²/36 + (12 − 28)²/28 + (8 − 12)²/12 + (15 − 27)²/27 + (37 − 21)²/21
χ² = 33

คำตอบ

χ² = 33

df = 2 ที่ α = 0.05 ค่าวิกฤตคือ 5.991 ดังนั้น ปฏิเสธ H₀ (ความเป็นอิสระ)

16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 3.872

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

โรงงาน A: 32, 48
โรงงาน B: 24, 36
โรงงาน C: 24, 36

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (27 − 32)²/32 + (53 − 48)²/48 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (23 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36
χ² = 3.872

การตัดสินใจ

df = 2, χ²crit = 9.210
3.872 < 9.210

คำตอบ

χ² = 3.872

χ² น้อยกว่าค่าวิกฤต จึงไม่ปฏิเสธ H₀: ไม่มีหลักฐานที่มีนัยสำคัญว่ามีความสัมพันธ์กัน

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology