ระเบียบวิธีวิจัยและสถิติสำหรับจิตวิทยา: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สถิติเชิงพรรณนา

ค่าเฉลี่ย
x̄ = Σx/n
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
มัธยฐาน
ค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว
คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
การแจกแจงปกติ
68% อยู่ภายใน ±1σ, 95% อยู่ภายใน ±2σ

ความน่าจะเป็น

ส่วนเติมเต็ม
P(not A) = 1 − P(A)
กฎการบวก
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
เหตุการณ์อิสระ
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ทวินาม
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

การแจกแจงปกติ

คะแนนมาตรฐาน z
z = (x − μ)/σ
ต่ำกว่า x
P(X < x) = Φ(z)
สูงกว่า x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
ระหว่าง
Φ(z2) − Φ(z1)
เปอร์เซ็นไทล์
x = μ + z·σ

วิธีการ

  1. แปลงค่าเป็นคะแนนมาตรฐาน z: z = (x − μ)/σ
  2. ดูค่า Φ(z) ซึ่งเป็นพื้นที่ทางซ้ายของ z
  3. สำหรับพื้นที่ทางขวาใช้ 1 − Φ(z) สำหรับช่วงให้ลบพื้นที่ทางซ้ายสองค่า
  4. สำหรับเปอร์เซ็นไทล์ ให้ทำย้อนกลับ: หา z จากพื้นที่ แล้ว x = μ + z·σ

ช่วงความเชื่อมั่น

ทราบ σ
x̄ ± z·σ/√n
ไม่ทราบ σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
ค่าวิกฤต z
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
ขนาดตัวอย่าง
n = (z·σ/E)², rounded up

วิธีการ

  1. ตัดสินใจระหว่าง z (ทราบ σ ของประชากร) กับ t (มีเพียง s ของตัวอย่าง โดยองศาเสรี n − 1)
  2. หาค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่น
  3. ค่าความคลาดเคลื่อน: E = ค่าวิกฤต × ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน/√n
  4. ช่วง: x̄ ± E

การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

การทดสอบ z สำหรับค่าเฉลี่ย
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
การทดสอบ t สำหรับค่าเฉลี่ย
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
สองทางที่ระดับ 5%
ปฏิเสธ H0 ถ้า |z| > 1.96
ช่วงความเชื่อมั่น
x̄ ± z·σ/√n

วิธีการ

  1. ระบุ H₀ และ H₁ และตัดสินว่าการทดสอบเป็นทางเดียวหรือสองทาง
  2. คำนวณตัวสถิติทดสอบ: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) หรือใช้ s และ t
  3. เปรียบเทียบกับค่าวิกฤต หรือหาค่า p
  4. ปฏิเสธ H₀ ถ้าตัวสถิติเลยค่าวิกฤต (p ต่ำกว่า α) และระบุข้อสรุปเป็นคำพูด

การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

ผลรวมกำลังสอง
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
ความชัน
b = Sxy/Sxx
ระยะตัดแกน
a = ȳ − b·x̄
สหสัมพันธ์
r = Sxy/√(SxxSyy)
ส่วนตกค้าง
e = y − ŷ

การทดสอบไคสแควร์

ตัวสถิติทดสอบ
χ² = Σ(O − E)²/E
ความเหมาะสมของแบบจำลอง
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
ความเป็นอิสระ
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
ค่าวิกฤต (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
การตัดสินใจ
ปฏิเสธ H0 ถ้า χ² > χ²crit

2โจทย์ฝึก

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยาปานกลาง

ในการวิเคราะห์เนื้อหา ความเชื่อถือได้ระหว่างผู้ประเมิน (inter-rater reliability) ตรวจสอบโดย:

  1. Aลงรหัสเนื้อหาสองครั้งในวันเดียว
  2. Bใช้กลุ่มตัวอย่างเนื้อหาที่ใหญ่ขึ้น
  3. Cให้ผู้วิจัยสองคนลงรหัสเนื้อหาเดียวกันและเปรียบเทียบผล
  4. Dถามผู้เข้าร่วมในภายหลังว่าการลงรหัสเนื้อหาของตนโดยผู้วิจัยถูกต้องหรือไม่
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยายาก

ผู้วิจัยวัดผลของเสียงรบกวนต่อสมาธิ ผู้เข้าร่วมในเงื่อนไขเสียงรบกวนบังเอิญถูกทดสอบตอนเช้า และเงื่อนไขเงียบตอนบ่าย ปัญหาคืออะไร?

  1. Aช่วงเวลาของวันเป็นตัวแปรตาม
  2. Bช่วงเวลาของวันเป็นตัวแปรสับสน
  3. Cข้อมูลอยู่ที่ระดับนามบัญญัติ
  4. Dการศึกษามีเงื่อนไขมากเกินไป
3.สถิติเชิงพรรณนาปานกลาง
152025303540455055

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง s ของข้อมูล: 58, 27, 55, 20, 14, 56, 34

n = 7
s =
4.สถิติเชิงพรรณนายาก
z −2−1012

ปริมาณหนึ่งมีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 สัดส่วน P ของค่าที่สูงกว่า 94 คือเท่าใด

μ = 100σ = 5x = 94
P =
5.ความน่าจะเป็นปานกลาง
P(หกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = ??1?2?3?4?5?6P(หก) = 1/6 ในแต่ละการทอย

ทอดลูกเต๋ายุติธรรม 6 ครั้ง ความน่าจะเป็น P ที่จะได้เลขหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือเท่าใด

n = 6
P =
6.ความน่าจะเป็นยาก
€p(x)−10.6910.3490.01

เกมหนึ่งมีค่าเล่น €1 คุณชนะ €2 ด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และ €50 ด้วยความน่าจะเป็น 0.01 นอกนั้นไม่ได้อะไร เงินที่จ่ายไปไม่ถูกคืน จงหากำไรสุทธิที่คาดหมาย E(G) ต่อเกม

ค่าเล่น = €1€2: p = 0.3€50: p = 0.01
E(G) = €
7.การแจกแจงปกติปานกลาง
−3−2−10123zพื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z = 0.7199

ลาก z ให้พื้นที่แรเงาระหว่าง −z และ z ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานเป็น 0.7199 หา z เป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

A = 0.7199
z =
8.การแจกแจงปกติยาก
10 g0X − Y?

มวล X ของผลิตภัณฑ์จากสายการผลิต 1 และ Y จากสายการผลิต 2 เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ: X มีค่าเฉลี่ย 500 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 g ส่วน Y มีค่าเฉลี่ย 490 g และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 g จงหาความน่าจะเป็น P ที่ X มากกว่า Y ปัดเศษ z เป็นสองตำแหน่งทศนิยม

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.ช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
x̄E₁ = 8.695%, n = 100x̄E₂ = ?99%, n = 100

ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ย จาก 100 ค่าและทราบ σ มีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ 8.6 ค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ E₂ ของช่วง 99% จากข้อมูลเดียวกันเป็นเท่าใด

95%n₁ = 100E₁ = 8.699%
E₂ =
10.ช่วงความเชื่อมั่นยาก
p ≈ 0.6, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0399%

การศึกษานำร่องชี้ว่าสินค้าประมาณ 0.6 บกพร่อง ต้องตรวจสอบสินค้ากี่ชิ้น n เพื่อให้ช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับสัดส่วนมีค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมให้ไม่เกิน 0.03

p ≈ 0.6E = 0.0399%
n =
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นปานกลาง
t −1.9901.99

ตัวอย่างนักเรียน 81 คนมีคะแนนเฉลี่ย 204 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 15 หาตัวสถิติทดสอบ t สำหรับ H₀: μ = 200

μ₀ = 200x̄ = 204s = 15n = 81
t =
12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่นยาก
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1.5α = 0.01βσ = 4, กำลังของการทดสอบ 90%, n = ?

การทดสอบ z ด้านเดียวที่ α = 0.01 ต้องตรวจจับการเลื่อนของค่าเฉลี่ย 1.5 หน่วยด้วยกำลังของการทดสอบ 90% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 4 จงหาขนาดตัวอย่างต่ำสุด n

α = 0.01กำลังของการทดสอบ = 90%δ = 1.5σ = 4zα = 2.326zβ = 1.282
n =
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ปานกลาง
xy3305317409501150xy510304050

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ค่าโฆษณาเป็น k€ และ y = ยอดขายเป็น k€ กำหนดผลรวมมาให้ จงหาสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r จากผลรวมเหล่านี้

n = 5Σx = 35Σy = 201Σx² = 285Σy² = 8461Σxy = 1525
r =
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์ยาก
xy147245348459560xy2445505560ŷ = 46

ตารางให้ข้อมูลที่เป็นคู่ 5 ค่า ของ x = ชั่วโมงที่ใช้เรียน และ y = คะแนนสอบ ใช้เส้นตรงกำลังสองน้อยที่สุด ŷ = a + b·x เส้นตรงทำนายว่า ŷ = 46 ที่ค่า x ใด

n = 5ŷ = 46
x =
15.การทดสอบไคสแควร์ปานกลาง
ไม่มีตำหนิเล็กน้อยรุนแรงรวมกะกลางวัน20402080กะกลางคืน9233567รวม296355147

ตารางการณ์จรแสดงความถี่ที่สังเกตได้ สำหรับการทดสอบความเป็นอิสระด้วยไคสแควร์ จงหาความถี่ที่คาดหวัง E ของช่อง “กะกลางวัน, รุนแรง”

ผลรวมแถว = 80ผลรวมหลัก = 55N = 147
E =
16.การทดสอบไคสแควร์ยาก
ผ่านไม่ผ่านรวมสายการผลิต 12971100สายการผลิต 23367100สายการผลิต 35842100รวม120180300dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

ตารางแสดงความถี่ที่สังเกตได้ จงทดสอบที่ α = 0.05 ว่าตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ (ไม่ใช้การแก้ไขความต่อเนื่อง) จงคำนวณค่าสถิติทดสอบ χ² แล้วเปรียบเทียบกับค่าวิกฤตจากตาราง

N = 3003 × 2α = 0.05
χ² =

3สารละลาย

1.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: C · ให้ผู้วิจัยสองคนลงรหัสเนื้อหาเดียวกันและเปรียบเทียบผล

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากผู้ลงรหัสอิสระให้รหัสคล้ายกันสำหรับข้อมูลเดียวกัน (ความสอดคล้องหรือสหสัมพันธ์สูง) แสดงว่าระบบลงรหัสเชื่อถือได้

คำตอบ

C · ให้ผู้วิจัยสองคนลงรหัสเนื้อหาเดียวกันและเปรียบเทียบผล
2.ระเบียบวิธีวิจัยทางจิตวิทยา

คำตอบ: B · ช่วงเวลาของวันเป็นตัวแปรสับสน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เพราะเสียงรบกวนและเวลาทดสอบแปรผันไปด้วยกัน ความแตกต่างใด ๆ อาจเกิดจากอย่างใดอย่างหนึ่ง การสุ่มจัดเวลาทดสอบหรือคงเวลาไว้เท่ากันจะขจัดตัวแปรสับสน

คำตอบ

B · ช่วงเวลาของวันเป็นตัวแปรสับสน
3.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: s = 18.48

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 264/7 = 37.71

กำลังสองของความเบี่ยงเบน

Σ(x − x̄)² = 20.29² + (−10.71)² + 17.29² + (−17.71)² + (−23.71)² + 18.29² + (−3.714)² = 2049

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

s = √(2049/6) = 18.48

คำตอบ

s = 18.48
4.สถิติเชิงพรรณนา

คำตอบ: P = 0.8849

สถิติเชิงพรรณนา: ค่าเฉลี่ยคือผลรวมหารด้วย n มัธยฐานคือค่ากลางของข้อมูลที่เรียงลำดับแล้ว (ค่าเฉลี่ยของสองค่ากลางเมื่อ n เป็นจำนวนคู่) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)) คะแนนมาตรฐาน z = (x − μ)/σ บอกว่าค่าหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = −1.2

ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

คำตอบ

P = 0.8849
5.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: P = 0.6651

ความน่าจะเป็น: เมื่อผลลัพธ์มีโอกาสเกิดเท่ากัน P(A) = กรณีที่สนใจ/กรณีทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์อิสระให้คูณกัน: P(A และ B) = P(A)·P(B) ส่วนเติมเต็มมักช่วยได้: P(อย่างน้อยหนึ่งครั้ง) = 1 − P(ไม่มีเลย) ทวินาม: ในการทดลองอิสระ n ครั้งที่ความน่าจะเป็นสำเร็จ p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ

ส่วนเติมเต็ม

P(ไม่ได้เลขหก) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651

คำตอบ

P = 0.6651
6.ความน่าจะเป็น

คำตอบ: E(G) = 0.1 €

ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง: การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงรายการทุกค่า x ที่ตัวแปรเป็นได้พร้อมความน่าจะเป็น p(x) ความน่าจะเป็นอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และรวมกันได้ 1 ค่าคาดหมาย (ค่าเฉลี่ย) คือ E(X) = Σx·p(x) ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยในระยะยาว ความแปรปรวนคือ Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = √Var(X) สำหรับการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) และ σY = |a|·σX การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนการกระจาย

ผลลัพธ์สุทธิ

G: 1 (p = 0.3), 49 (p = 0.01), −1 (p = 0.69)

ค่าคาดหมาย

E(G) = 1·0.3 + 49·0.01 − 1·0.69 = 0.1 €

คำตอบ

E(G) = 0.1 €

ค่าบวกหมายความว่าโดยเฉลี่ยคุณได้เงิน

7.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: z = 1.08

จากพื้นที่กลับเป็น z: Φ(z) คือพื้นที่ทางซ้ายของ z สำหรับพื้นที่หางซ้าย A หา z ที่ Φ(z) = A ในตาราง พื้นที่หางขวา A หมายความว่า Φ(z) = 1 − A พื้นที่ตรงกลาง A ระหว่าง −z และ z เหลือ (1 − A)/2 ในแต่ละหาง ดังนั้น Φ(z) = (1 + A)/2 สำหรับค่า x ใช้ x = μ + zσ

พื้นที่ทางซ้ายของ z

Φ(z) = (1 + 0.7199)/2 = 0.8599

อ่านตาราง z ย้อนกลับ

หา 0.8599 ในตารางและอ่านค่า z

z = 1.08

คำตอบ

z = 1.08
8.การแจกแจงปกติ

คำตอบ: P = 0.8413

ผลบวกและผลต่างของตัวแปรปกติ: ถ้า X และ Y เป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงปกติ X + Y และ X − Y ก็มีการแจกแจงปกติเช่นกัน ค่าเฉลี่ยบวกหรือลบกัน: E(X ± Y) = μX ± μY ความแปรปรวนบวกกันเสมอ แม้เป็นผลต่าง: Var(X ± Y) = σX² + σY² ดังนั้น σ = √(σX² + σY²) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่บวกกันโดยตรง ผลรวมของ n รายการอิสระที่มีการแจกแจงเดียวกันมีค่าเฉลี่ย n·μ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ·√n จากนั้นทำให้เป็นมาตรฐานตามปกติ: z = (x − ค่าเฉลี่ย)/σ แล้วอ่าน Φ(z)

การแจกแจงของผลต่าง

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

ทำให้เป็นมาตรฐาน

z = (0 − 10)/10 = −1

ความน่าจะเป็น

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

คำตอบ

P = 0.8413
9.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: E₂ = 11.3

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

อัตราส่วนของค่าคลาดเคลื่อน

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(100/100) = 1.314

ค่าคลาดเคลื่อนใหม่

E₂ = 8.6·1.314 = 11.3

คำตอบ

E₂ = 11.3
10.ช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 1770

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

แก้หา n

n = 2.576²·0.6·0.4/0.03² = 1770

ปัดขึ้น

n = 1770

คำตอบ

n = 1770
11.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: t = 2.4

การทดสอบค่าเฉลี่ย: ตัวสถิติทดสอบวัดว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ห่างจากค่าที่อ้างใน H₀ กี่เท่าของความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) เมื่อทราบ σ และ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) เมื่อประมาณจากตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่นคือ x̄ ± (ค่าวิกฤต)·(ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน)

ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667

ตัวสถิติทดสอบ

t = (204 − 200)/1.667 = 2.4

คำตอบ

t = 2.4
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| > 1.99 ดังนั้นปฏิเสธ H₀ ที่ระดับ 5% (สองด้าน)

12.การทดสอบสมมติฐานและช่วงความเชื่อมั่น

คำตอบ: n = 93

ขนาดตัวอย่างสำหรับการทดสอบ: เพื่อตรวจจับการเลื่อนจริง δ ด้วยกำลัง 1 − β ในการทดสอบ z ด้านเดียวที่ระดับ α ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานต้องเป็นไปตาม δ = (z_α + z_β)·σ/√n ดังนั้น n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² ปัดขึ้น

แก้หา n

n = ((2.326 + 1.282)·4/1.5)² = 92.57

ปัดขึ้น

n = 93

คำตอบ

n = 93
13.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: r = 0.9561

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ผลรวมที่ปรับกึ่งกลางแล้ว

Sxy = 1525 − 35·201/5 = 118
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 8461 − 201²/5 = 380.8

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์

r = 118/√(40·380.8) = 0.9561

คำตอบ

r = 0.9561
14.การถดถอยเชิงเส้นและสหสัมพันธ์

คำตอบ: x = 1.55

การถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด: เมื่อ x̄ และ ȳ เป็นค่าเฉลี่ย Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² และ Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) เส้นตรง ŷ = a + b·x มีความชัน b = Sxy/Sxx และจุดตัดแกน a = ȳ − b·x̄ ดังนั้นจึงผ่านจุด (x̄, ȳ) เสมอ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเพียร์สัน r = Sxy/√(Sxx·Syy) มีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 ส่วน r² คือสัดส่วนของความผันแปรของ y ที่เส้นตรงอธิบายได้

ค่าเฉลี่ย

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 259/5 = 51.8

ผลรวมของกำลังสองและผลคูณ

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

เส้นถดถอย

b = 40/10 = 4
a = 51.8 − 4·3 = 39.8
ŷ = 39.8 + 4·x

แก้หา x

x = (46 − 39.8)/4 = 1.55

คำตอบ

x = 1.55
15.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: E = 29.93

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

E = 80·55/147 = 29.93

คำตอบ

E = 29.93
16.การทดสอบไคสแควร์

คำตอบ: χ² = 20.58

การทดสอบไคสแควร์: เปรียบเทียบความถี่ที่สังเกตได้ O กับความถี่ที่คาดหวังภายใต้ H₀ ด้วย χ² = Σ(O − E)²/E การทดสอบภาวะสารูปสนิทดี: E = n·p สำหรับแต่ละกลุ่ม df = k − 1 (ลบเพิ่มอีกหนึ่งต่อทุกพารามิเตอร์ที่ประมาณจากข้อมูล) การทดสอบความเป็นอิสระในตาราง r × c: E = ผลรวมแถว × ผลรวมหลัก / ผลรวมทั้งหมด df = (r − 1)(c − 1) ปฏิเสธ H₀ เมื่อ χ² มากกว่าค่าวิกฤตที่ระดับ α ที่เลือก

ความถี่ที่คาดหวัง

สายการผลิต 1: 40, 60
สายการผลิต 2: 40, 60
สายการผลิต 3: 40, 60

ค่าสถิติไคสแควร์

χ² = (29 − 40)²/40 + (71 − 60)²/60 + (33 − 40)²/40 + (67 − 60)²/60 + (58 − 40)²/40 + (42 − 60)²/60
χ² = 20.58

การตัดสินใจ

df = 2, χ²crit = 5.991
20.58 > 5.991

คำตอบ

χ² = 20.58

χ² มากกว่าค่าวิกฤต จึงปฏิเสธ H₀: ตัวแปรทั้งสองดูเหมือนมีความสัมพันธ์กัน

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology