สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
ระบบอันดับหนึ่ง
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์
สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

  1. ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
  2. กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
  3. คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
  4. ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง
x(t)t210h(t)t1

พัลส์ x(t) = 10 สำหรับ 0 ≤ t < 2 s (เป็นศูนย์ที่อื่น) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = e−2tu(t) จงหาเอาต์พุต y(3) ที่ t = 3 s หลังจากพัลส์สิ้นสุดแล้ว

x(t) = 10, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−2tu(t)t = 3 s
y(3) =
2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก
x(t)t (ms)1020404−4

คลื่นสี่เหลี่ยมสลับระหว่าง +4 และ −4 ด้วยคาบ T = 20 ms (ครึ่งคาบที่แต่ละระดับ) จงหาแอมพลิจูด c7 ของส่วนประกอบฟูริเยร์ที่ 350 Hz

±4T = 20 msf = 350 Hz
c7 =
3.การแปลงลาปลาซปานกลาง
t (s)f(t)t = 0.25f(0.25) = ?

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (6s + 9)/(s² + 8s + 16) และหาค่า f(0.25)

F(s) = (6s + 9)/(s² + 8s + 16)t = 0.25 s
f(0.25) =
4.การแปลงลาปลาซยาก
t (s)y(t)t = 0.2y(0.2) = ?

จงแก้ y″ + 8y′ + 12y = 0 โดย y(0) = −5 และ y′(0) = 5 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.2)

y″ + 8y′ + 12y = 0y(0) = −5y′(0) = 5t = 0.2 s
y(0.2) =
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)0.5

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 30.5/(s² + 5s + 61) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jωd จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 30.5/(s² + 5s + 61)
σ =
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
R(s)+275s(s + 12)G(s)C(s)−

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 275/(s(s + 12)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ ts ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 275/(s(s + 12))
ts = s
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
vin​L = 5 mHC = 2.2 µFR = 1 Ωvout​

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 1 Ω โดย L = 5 mH และ C = 2.2 µF จงหาแบนด์วิดท์ −3 dB BW ใน Hz

R = 1 ΩL = 5 mHC = 2.2 µF
BW = Hz
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)11101010010010001000−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 700/(s(s + 20)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 700/(s(s + 20))
PM = °

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(3) = 0.6643

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e−at)

เอาต์พุตเมื่อสิ้นสุดพัลส์

y(2) = (10/2)(1 − e−4) = 4.908

การลดลงหลังพัลส์

y(3) = 4.908·e−2·1 = 0.6643

คำตอบ

y(3) = 0.6643
2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: c7 = 0.7276

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

ลำดับฮาร์มอนิก

f₀ = 1/T = 50 Hz → k = 350/50 = 7

แอมพลิจูด

c7 = 4·4/(7π) = 0.7276

คำตอบ

c7 = 0.7276
3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.25) = 0.8277

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 8s + 16 = (s + 4)²

เศษส่วนย่อย

6s + 9 = 6(s + 4) + −15
F(s) = 6/(s + 4) − 15/(s + 4)²

การแปลงผกผัน

f(t) = 6·e−4t − 15·t·e−4t
f(0.25) = (6 − 15·0.25)·e−4·0.25 = 0.8277

คำตอบ

f(0.25) = 0.8277
4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.2) = −3.813

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

แปลงสมการ

s²Y − (−5)s − 5 + 8(sY − (−5)) + 12Y = 0
Y(s) = (−5s − 35)/((s + 2)(s + 6))

เศษส่วนย่อย

A = −25/4 = −6.25
B = −5/(−4) = 1.25

ผลลัพธ์

y(t) = −6.25·e−2t + 1.25·e−6t
y(0.2) = −3.813

คำตอบ

y(0.2) = −3.813

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = −5

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −2.5

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 61 → ωₙ = 7.81 rad/s
2ζωₙ = 5 → ζ = 5/(2·7.81) = 0.3201

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −5/2 = −2.5

คำตอบ

σ = −2.5
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ts = 0.6667 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = 275/(s² + 12s + 275): ωₙ = 16.58 rad/s, ζ = 0.3618

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 12/2 = 6
ts ≈ 4/(ζωₙ) = 0.6667 s

คำตอบ

ts = 0.6667 s

สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง

7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: BW = 31.83 Hz

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·2.2 × 10⁻⁶) = 9535 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1517 Hz

แบนด์วิดท์

BW = R/L = 1/0.005 = 200 rad/s = 31.83 Hz

คำตอบ

BW = 31.83 Hz
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 41.04 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 400ω² − 490000 = 0
ω² = (−400 + √(160000 + 4·490000))/2 = 528
ωc = 22.98 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jωc) = −90° − atan(22.98/20) = −139°
PM = 180° + ∠L = 41.04°

คำตอบ

PM = 41.04°

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems