สัญญาณและระบบ: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

คอนโวลูชันและระบบ LTI

คอนโวลูชันไม่ต่อเนื่อง
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
คอนโวลูชันต่อเนื่อง
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
ความยาวและผลรวม
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
จุดเริ่มต้น จุดสิ้นสุด และพื้นที่
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
ขั้นเข้าสู่ e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
ระบบอันดับหนึ่ง
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
สมการเวียนเกิดอันดับหนึ่ง
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
ไซน์ผ่าน h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
แอมพลิจูดของอนุกรมฟูริเยร์
สี่เหลี่ยม ±A: 4A/(kπ), k คี่; สามเหลี่ยม ±A: 8A/(π²k²), k คี่; ขบวนพัลส์: A·D และ (2A/(kπ))|sin kπD|

วิธีการ

  1. ร่างสัญญาณทั้งสองและทำเครื่องหมายช่วงที่แต่ละสัญญาณไม่เป็นศูนย์
  2. กลับ h แล้วเลื่อน: สำหรับแต่ละเวลาของเอาต์พุต หาช่วงที่สัญญาณทั้งสองซ้อนทับกัน
  3. คูณแล้วบวก (ไม่ต่อเนื่อง) หรือคูณแล้วอินทิเกรต (ต่อเนื่อง) เฉพาะบริเวณที่ซ้อนทับ
  4. ตรวจสอบผลลัพธ์: เอาต์พุตเริ่มที่ผลรวมของเวลาเริ่มต้น สิ้นสุดที่ผลรวมของเวลาสิ้นสุด และพื้นที่หรือผลรวมของมันคือผลคูณของพื้นที่หรือผลรวมของอินพุต

2โจทย์ฝึก

1.คอนโวลูชันและระบบ LTIปานกลาง
x(t)t13h(t)t45

พัลส์ x(t) = 3 สำหรับ 0 ≤ t < 1 s (เป็นศูนย์ที่อื่น) ถูกป้อนเข้าระบบที่มีการตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) = 5 สำหรับ 0 ≤ t < 4 s (เป็นศูนย์ที่อื่น) จงหาเอาต์พุต y(1) ที่ t = 1 s

x(t) = 3, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 5, 0 ≤ t < 4 st = 1 s
y(1) =
2.คอนโวลูชันและระบบ LTIยาก
2cos(2t)h(t) = 10e−2t​u(t)y(t)

อินพุต x(t) = 2·cos(2t) ถูกป้อนเข้าระบบที่มี h(t) = 10·e−2tu(t) จงหาแอมพลิจูด Ym ของเอาต์พุตสถานะคงตัว

h(t) = 10e−2tu(t)x(t) = 2cos(2t)
Ym =
3.การแปลงลาปลาซปานกลาง
ReIm−2−4−6−8−10−12−14−16

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (2s + 28)/(s² + 8s + 17) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.4)

F(s) = (2s + 28)/(s² + 8s + 17)t = 0.4 s
f(0.4) =
4.การแปลงลาปลาซยาก
ReIm−0.5−10.51

ระบบอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ y″ + 2y′ + 2y = 3u′ + u โดยมีอินพุต u(t) และเอาต์พุต y(t) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = Y(s)/U(s) (เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) และหาผลตอบสนองอิมพัลส์ g(t) ที่ t = 0.8 s จงหา g(0.8)

y″ + 2y′ + 2y = 3u′ + ut = 0.8 s
g(0.8) =
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง
t (s)y(t)1?

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 86/(s² + 7s + 86) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 86/(s² + 7s + 86)
%OS = %
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก
k = 400 N/mc = 36 N·s/mm = 20 kgF = 10 Nx(t)

มวล m = 20 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 400 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 36 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 10 N กะทันหัน จงหาการกระจัดสูงสุด xmax เป็น mm

m = 20 kgk = 400 N/mc = 36 N·s/mF = 10 N
xmax = mm
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง
vin​R = 47 ΩL = 10 mHvout​

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RLที่แสดงมีR = 47 Ω, L = 10 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 2.2 kHz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ vout เทียบกับ vin เป็นองศา

R = 47 ΩL = 10 mHf = 2.2 kHz
φ = °
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 1020/(s(s + 8)(s + 10)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 1020/(s(s + 8)(s + 10))
GM = dB

3สารละลาย

1.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: y(1) = 15

คอนโวลูชันต่อเนื่อง: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ กลับ h เลื่อนไปที่ตำแหน่ง t และอินทิเกรตผลคูณของส่วนที่ซ้อนทับ สำหรับสัญญาณเชิงเหตุผล อินทิกรัลไปจาก 0 ถึง t ผลที่มีประโยชน์: พื้นที่ของ y เท่ากับพื้นที่ของ x คูณพื้นที่ของ h ถ้า x ยาวจาก t₁ ถึง t₂ และ h จาก t₃ ถึง t₄ แล้ว y ยาวจาก t₁ + t₃ ถึง t₂ + t₄ สำหรับ h(t) = e−atu(t) และขั้นสูง A, y(t) = (A/a)(1 − e−at)

การซ้อนทับของพัลส์ที่กลับแล้ว

h(t − τ) คือพัลส์ของ h ที่กลับและเลื่อนให้สิ้นสุดที่ τ = t

τ ∈ [0, 1] → ความยาว 1 s

อินทิกรัล

y(1) = 3·5·1 = 15

คำตอบ

y(1) = 15

y(t) เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู: ขึ้นจาก 0 คงที่ที่ 15 และลดกลับเป็น 0 ที่ t = 5 s

2.คอนโวลูชันและระบบ LTI

คำตอบ: Ym = 7.071

การตอบสนองต่ออิมพัลส์และอนุกรมฟูริเยร์: การตอบสนองต่ออิมพัลส์ h(t) อธิบายระบบ LTI อย่างสมบูรณ์: สำหรับ y′ + a·y = b·x คือ h(t) = b·e−atu(t) และสำหรับ y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] คือ h[n] = b·aⁿu[n] ไซน์ cos ωt ผ่านด้วยอัตราขยาย |H(jω)| และเฟส ∠H(jω) โดย H คือการแปลงฟูริเยร์ของ h สัญญาณคาบคือผลรวมของฮาร์มอนิกที่ k/T: คลื่นสี่เหลี่ยม ±A มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ที่มีแอมพลิจูด 4A/(kπ) คลื่นสามเหลี่ยมที่มียอด A มี 8A/(π²k²) และขบวนพัลส์สูง A ที่มีวัฏจักรหน้าที่ D มีค่าเฉลี่ย A·D และฮาร์มอนิก (2A/(kπ))·|sin(kπD)|

การตอบสนองเชิงความถี่

H(jω) = 10/(2 + jω)

อัตราขยายที่ความถี่อินพุต

|H(j2)| = 10/√(2² + 2²) = 3.536
Ym = 2·3.536 = 7.071

คำตอบ

Ym = 7.071
3.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.4) = 1.944

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 8s + 17 = (s + 4)² + 1 = (s + 4)² + 1²

จับคู่เศษ

F(s) = 2·(s + 4)/((s + 4)² + 1²) + (20/1)·1/((s + 4)² + 1²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e−4t·(2·cos 1t + 20·sin 1t)
f(0.4) = e−4·0.4·(2·cos(1·0.4) + 20·sin(1·0.4)) = 1.944

คำตอบ

f(0.4) = 1.944
4.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: g(0.8) = 0.2945

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)

ฟังก์ชันถ่ายโอน

G(s) = Y(s)/U(s) = (3s + 1)/(s² + 2s + 2)

เศษส่วนย่อย

s² + 2s + 2 = (s + 1)² + 1²
G(s) = 3·(s + 1)/((s + 1)² + 1²) + (−2/1)·1/((s + 1)² + 1²)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

g(t) = e−t·(3·cos 1t − 2·sin 1t)
g(0.8) = 0.2945

คำตอบ

g(0.8) = 0.2945
5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 27.79 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 86 → ωₙ = 9.274 rad/s
2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·9.274) = 0.3774

ผลลัพธ์

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1.28 = 27.79 %

คำตอบ

%OS = 27.79 %
6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: xmax = 38.11 mm

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(400/20) = 4.472 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 36/(2·√(400·20)) = 0.2012

ผลลัพธ์

xst = F/k = 10/400 m = 25 mm
%OS = 52.44 %
xmax = 25·(1 + 0.5244) = 38.11 mm

คำตอบ

xmax = 38.11 mm
7.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = 18.78 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ωc = R/L = 47/0.01 = 4700 rad/s
fc = 748 Hz → f/fc = 2200/748 = 2.941

เฟส

φ = 90° − atan(2.941) = 18.78°

คำตอบ

φ = 18.78°
8.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 2.995 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ωc = 1/(RC) หรือ R/L และ fc = ωc/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) และ φ = −atan(ω/ωc) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jωc) จุดตัดเฟส ω180: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

จุดตัดเฟส

(ω/8)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(8·10) = 8.944 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 100)) = K/(8·10·(8 + 10)) = K/1440

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(1440/1020) = 2.995 dB

คำตอบ

GM = 2.995 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/signals-and-systems